2021-2022学年江苏省扬州中学高一下学期开学考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江苏省扬州中学高一下学期开学考试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由交集、并集、补集的定义即可判断.
【详解】解：因为集合，，，
所以，，，，
故选：C.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】解：若，则，
若，当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．
【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限．
故选：D．
4．若，则下列不等式中不成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质即可以逐项判断正误.
【详解】，，即，∴A正确；
，∴，∴，故B错误；
，∴，故C正确；
，∴，∴，即，故D正确.
故选：B.
5．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①②可以直接根据题意得到，③④可以利用题意进行推导出.
【详解】因为是无理数，所以，①正确；
的函数值是1或0，所以的值域为，②正确；
若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，则，综上：是偶函数，③错误；
若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，，④正确，所以表述正确个数为3.
故选：C
6．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求解函数定义域，进而化简为，判断函数的奇偶性和函数值的符号，通过排除法即可得出结果．
【详解】∵，∴函数定义域为关于原点对称，
，函数为奇函数，由
易得的图象为A．
故选：A
7．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：不等式的解集是，
即对于，恒成立，
即，
当时，，
当时，，
因为，
所以，
综上所述.
故选：A.
8．设定义在R上的奇函数，，都有，记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题可构造函数，结合条件可知函数为偶函数且在上单调递减，再利用指数函数及对数函数的性质可得，即得.
【详解】∵，都有，
∴，
令，则当时，有，即，
∴函数在上单调递减,
又函数为奇函数，
∴，即函数为偶函数，
∴，，，
又，函数在上单调递减,
∴.
故选：D.
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．
B．若函数为奇函数，则f(0)=0
C．已知3a=4b=12，则
D．若幂函数经过点(，2)，则
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质可判断，根据奇函数定义可判断，把指数式化为对数式，结合对数的运算性质可判断，把点，代入函数的解析式，求出的值可判断．
【详解】对于选项，故选项正确，
对于选项若函数是奇函数，设的定义域为，当且仅当时才有，故选项错误；
对于选项：已知，，，
，故选项正确；
对于选项：若幂函数经过点，，则，
，故选项错误，
故选：．
10．将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）
A．在上单调递增，为偶函数
B．最大值为1，图象关于直线对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．周期为，图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】化简得到，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.
【详解】
因为，则，所以单调递增，且为偶函数，A 正确，C错误；
最大值为，当时，，所以为对称轴，B正确；
，取，当时满足，图像关于点对称，D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
11．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，D．，，使得
【答案】ACD
【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A，根据函数性质比较函数值大小；对于B，，等价于，求得参数范围；对于C，若，分类讨论求得不等式解集；对于D，根据函数的性质知，函数存在最大值，从而满足条件.
【详解】由①知函数为偶函数；由②知，函数在上单调递减；
则函数在上单调递增；
对于A，，故A正确；
对于B，，则，解得，故B错误；
对于C，若，由题知，则当时，，解得；当时，，解得，故C正确；
对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，故D正确；
故选：ACD
12．已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，则（ ）
A．是偶函数．
B．
C．是奇数
D．的最大值为3
【答案】BCD
【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故CD正确，代入验证知不可能为偶函数，A错误，由函数的对称性可判断B，得到答案.
【详解】∵，，
∴，，
故，，，
由，则，
故，，，
当时，，，
∵在区间上单调，
故，故，即，
，故，故，
综上所述：或，故CD正确；
或，故或，，不可能为偶函数，A错误；
由题可知是函数的一条对称轴，故成立，B正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
三、填空题
13．若函数的定义域为，则函数的定义域是________
【答案】
【解析】根据抽象函数的定义域的求解原则可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】设，则.
由的定义域为知，，即.
的定义域为，
要使函数有意义，必须满足，即，解得.
因此，函数的定义域是.
故答案为：.
【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
14．若命题“，使成立”是假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据特称命题的否命题是真命题，转化为不等式恒成立，即可求解.
【详解】由题可知“，”为真命题，
当时，，，
当时，则，所以，
综上可得.故答案为：.
故答案为：
15．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每2分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为：．则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为______．
【答案】
【分析】根据题意求出振幅、周期，利用正弦型三角函数的性质求解即可.
【详解】由题意，, 振幅，
, ,
由题意，时，，即，
所以，又，
，
，
故答案为：
16．函数满足且，则称函数为M函数．当时，，，且，均为M函数，则方程在区间上所有根的和为______．（参考数据：，）
【答案】
【分析】由条件可得M函数为周期为，图象关于对称的函数，由条件作出函数，的图象，观察图象确定方程在区间上所有根，由此可得答案.
【详解】∵ 函数为M函数，
∴ ，
∴ 函数的周期为，函数的图象关于直线对称，
同理可得函数的周期为，函数的图象关于直线对称，
又当时，，，
∵ 函数在上为增函数，在上为减函数，
在上为减函数
当时，，，
，又，，
∴，故
当时，，，
∴
当时，，，
∴
由此可做函数，在上的图象如下：
由图象可得函数，的图象在上有12个交点，
∴ 方程在区间上有12个根，从小到大依次记为
，由图象知，，，
∴方程在区间上所有根的和为.
故答案为：
四、解答题
17．已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用诱导公式化简即可.
（2）由题设有，又、，再由诱导公式、同角三角函数的平方关系求目标式的值.
【详解】(1).
(2)由，
又，，
∴.
18．已知集合.
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分别对赋值，利用集合的并集进行求解；
（2）先根据题意得到，再利用集合间的包含关系进行求解，要注意的情形.
【详解】(1)解：若选择①:当时，，
因为，所以.
若选择②:当时，，
因为，所以.
若选择③:当时，，
因为，所以.
(2)解：因为，
所以.
因为，所以，
当时，；
当时，，
即；
综上，.
19．已知函数，当时，取得最小值．
(1)求a的值；
(2)若函数有4个零点，求t的取值范围．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）分类讨论和两种情况，由其单调性得出a的值；
（2）令，结合一元二次方程根的分布得出t的取值范围．
【详解】(1)解：当时，，则，故没有最小值．
当时，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
(2)的图象如图所示．
令，则函数在上有2个零点，
得
解得，故t的取值范围为．
20．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.
（1）求在上的增区间;
（2）若在上有两解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出答案.
（2）令 则，则，根据有两解，即有两解，从而可得答案.
【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，
函数的图像关于原点对称，，
所以
（1）由，
得，
令得
得
在增区间是
令，则
所以
若有两解，即在上有两解，
由的图象可得，，即
的取值范围是
【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.
21．已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)当时，
①判断的单调性（不要求证明）；
②对任意实数x，不等式恒成立，求正整数m的最小值．
【答案】(1)或
(2)①在上单调递增②3
【分析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；
（2）①根据复合函数的单调性判断可得；
②根据函数的单调性与奇偶性可得在上恒成立，由，即可得到不等式，解得的取值范围，即可得解；
【详解】(1)解：因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
则，得或．此时定义域为R，满足题意.
(2)①因为，所以．函数，定义域为，
因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增．
②对任意实数x，恒成立，，
由①知函数在上单调递增，
可得在上恒成立．
因为，
所以，即．
于是正整数m的最小值为3．
22．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围；
(3)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，得到，再利用不动点的定义求解；
（2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解；
（3）由题意得到，进而得到，利用对勾函数的性质求解.
【详解】(1)解：当时，，
设为不动点，因此，
解得或，
所以为函数的不动点.
(2)因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以且恒成立.
即对于任意恒成立.
令，
则，
解得.
(3)因为，
所以，
设，因为，所以，
由P函数性质得在上单调递增，
所以，
所以，
所以.