2021-2022学年河南省林州市第一中学高一下学期开学检测数学试题含解析

这是一份2021-2022学年河南省林州市第一中学高一下学期开学检测数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】D
【分析】直接根据补集的概念求解即可.
【详解】解：因为全集，集合，
所以
故选：D
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】含有全称量词和特称量词的命题的否定，需要转化量词.
【详解】命题“”的否定是“”，
故选：C.
3．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．10
【答案】A
【分析】先求得，然后求得.
【详解】，
.
故选：A
4．已知，， 则= （ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答.
【详解】因，，则，
所以.
故选：D
5．已知，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.
【详解】
故选：D
6．若为角终边上的一点，则值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求出，根据倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式把展开，即得答案.
【详解】点为角终边上一点，
，
，
.
故选：B.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和两角和正弦公式化简得到，结合，即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，则．
故选：C.
8．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由是偶函数，可得，令，从而可得，则有函数关于直线对称，再根据是奇函数，可得，且关于对称，从而可得，即可得出函数的周期性，再根据函数的周期性和对称性逐一分析，即可得出答案.
【详解】解：因为是偶函数，所以，
令，则，故，
所以，即，
所以函数关于直线对称，
因为是奇函数，所以，且函数关于对称，
又因函数是由函数向右平移1个单位得到，
所以关于对称，所以，所以，
所以，则，
即，所以函数的一个周期为，
故有，故①正确；
由函数关于直线对称，，所以，
所以，故②正确；
因为，
因为关于对称，所以，
所以，故③正确；
又，故④正确，
所以正确的个数为4个.
故选：D.
9．已知，.若存在，使得，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将函数进行化一处理，由得，由可得解.
【详解】，
当时，，
存在，使得，
则，解得.
故选：B.
10．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质结合三角函数值的大小可判断的范围，利用对数函数的单调性结合三角函数相关知识可比较，，进而可得答案.
【详解】 ，故，
所以，
又 ，
则，
故 ，
故选：D.
11．已知函数，给出下面四个结论：
①的定义域是；
②是偶函数；
③在区间上单调递增；
④的图像与的图像有4个不同的交点.
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.
【详解】函数，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；
②选项，因为，所以，故②选项也是正确的；
选项③，在区间时，，而函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项不正确，排除选项；
选项④，可通过画出的图像与的图像，通过观察不难得到，两个函数图像有4个交点，因此，选项④正确.
故选：D.
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．B．4C．8D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
二、填空题
13．若是方程的两根，，则___________.
【答案】
【分析】由韦达理及正切两角和得到，再根据诱导公式化简即可求解.
【详解】由题知，，
而，
所以，
所以.
故答案为：
14．已知，，则_______
【答案】
【分析】先确定位于第二象限，求出，再使用凑角法和余弦差角公式进行所求解.
【详解】由，则，又，故，即位于第二象限，由同角三角函数关系得：
故答案为：
15．设函数与都是定义在集合M上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与是M上的“互嵌函数”.若函数与是M上的“互嵌函数”，则集合___________.
【答案】
【分析】根据给定定义列出方程，再用二倍角的正切化简计算作答.
【详解】依题意，，化简得，解得，则，
所以集合.
故答案为：
三、双空题
16．已知且，则的最小值是_______，的最小值是_______．
【答案】 3 3
【分析】由已知条件，化简为，结合基本不等式，即可求解的最小值，由基本不等式，得到，再次结合基本不等式，即可求解的最小值.
【详解】由题意，因为且，
则，
当且仅当时，即时等号成立.
因为且，
由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：， .
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
四、解答题
17．已知集合U为实数集，M={x|x≤-2或x≥5}，N={x|a+1≤x≤2a-1}.
(1)若a=3，求；
(2)若N⊆M，求实数a的取值范围.
【答案】(1){x|x<4或x≥5}
(2)(-∞，2)∪[4，+∞)
【分析】（1）将a=3代入集合N，即可求出N，根据全集求出N的补集，最后计算M∪N.
（2）N⊆M，即集合N对应范围小于或等于集合M对应范围，分析即得解.
【详解】(1)当a=3时，N={x|4≤x≤5}，
∵集合U为实数集，∴={x|x<4或x>5}，
∵M={x|x≤-2或x≥5}，∴M∪={x|x<4或x≥5}.
(2)分两种情况：
①当2a-1②当2a-1≥a+1，即a≥2时，N≠，
由N⊆M，得a+1≥5或2a-1≤-2，解得a≥4或a≤-，所以a≥4.
综上可知，实数a的取值范围是(-∞，2)∪[4，+∞).
18．已知．
(1)求；
(2)若，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件求出tanα，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值；
(2)根据角的范围和的正负确定的范围，求出sin()，根据即可求解.
【详解】(1)，
；
(2)
，，
，
又，
.
19．已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)在R上单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由奇函数的性质可得恒成立，即可求的值.
（2）利用单调性的定义证明的单调性.
【详解】(1)由题设，，整理可得：恒成立，解得.
(2)由（1）知：，在R上单调递增，证明如下：
令，则，又，，，
所以，即在R上单调递增.
20．已知定义在上的奇函数，当时，函数解析式为．
(1)求a的值，并求出在上的解析式；
(2)若对任意的，总有，求实数t的取值范围．
【答案】(1)-3，；
(2).
【分析】（1）由奇函数的性质有即可求参数a，再利用奇函数的性质求函数解析式即可.
（2）由（1），应用换元法及二次函数的性质可知在上恒成立，将问题化为恒成立，求参数范围即可.
【详解】(1)根据题意，是定义在上的奇函数，则有，
当时，则，解得：，
当时，，
设，则，则，又为奇函数，
所以，
综上，，
(2)由（1），时，，
设，则，则原函数可化为：，
由，知：在上恒成立，
要使在上恒成立，只需，解得：，
所以t的取值范围为．
21．已知函数的最小正周期为．
(1)求的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据诱导公式、二倍角和辅助角公式可整理得到；
根据可求得，进而得出，结合正弦函数的单调性即可得出结果；
（2）利用的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得的范围，代入可求得的取值范围.
【详解】(1)
函数的最小正周期为，得到=1．则
由，得到
故的递减区间为..
(2)因为，
所以，
因此，即的取值范围为.
22．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象.若锐角满足，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用函数的振幅求得，代入求得的值，从而求得函数，利用对称性求得函数；
（2）利用三角函数图像变换求得，由得，利用同角三角函数的基本关系式及两角和与差的三角公式求得结果.
【详解】(1)解：由振幅为2知，
，代入有，
，而，
而与关于轴对称，
(2)由已知，
，
，
而，
故，
.