2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.

【详解】因为，故，

故为偶函数，故排除AC.

而，故排除D，

故选：B.

2．已知向量，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.

【详解】，所以.

故选：A.

3．已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C、D可能同时在线段AB上

D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D

【分析】根据向量共线定理得到四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.

【详解】解：由，，可得：四点共线，

对于选项A，若C是线段AB的中点，则，则，不满足，即选项A错误；

对于选项B，若D是线段AB的中点，则，则，不满足，即选B错误；

对于选项C，若C、D同时在线段AB上，则，则，不满足，即选项C错误；

对于选项D，假设C、D同时在线段AB的延长线上，则 ，则，则不满足，即假设不成立，即C、D不可能同时在线段AB的延长线上，即选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.

4．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若cos()=，则x0=（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的定义知x0=cosα，因为cosα=，所以利用两角差的余弦公式可求.

【详解】解：由题意，x0=cosα.

α∈，∈，

又cos()=，

∈，

=，

x0=cosα==+

==.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos()=，缩小角的范围，从而确定的正负.

二、填空题

5．教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.

【答案】

【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.

【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为，

从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为，

所以时针转了弧度.

故答案为：

6．若一扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积是________．

【答案】

【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.

【详解】由题意，令扇形的半径为，则，即有，

∴该扇形的面积是．

故答案为：.

7．已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________.

【答案】－

【分析】利用三角函数的定义求解.

【详解】由三角函数的定义得，tan α＝＝－，

∴a＝－12，

∴P（5，－12）.

这时r＝13，

∴sin α＝－，cos α＝，

从而sin α＋cos α＝－.

故答案为：－

8．已知正方形ABCD的边长为2，，则＝_____．

【答案】

【分析】利用向量的加法计算即可.

【详解】.

故答案为：.

9．已知，且，则_______.

【答案】

【分析】根据题意，可知，结合三角函数的同角基本关系，可求出和再根据，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以

.

故答案为：.

10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为________.

【答案】－3

【分析】由题设，结合诱导公式可得f(4)＝asinα＋bcosβ，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f(2017)＝－asinα－bcosβ即可求值.

【详解】∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，

∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.

故答案为：－3.

11．已知向量、，，，且，则在上的投影为___________.

【答案】（或）

【分析】由已知得出，结合平面向量数量积的几何意义可得出在上的投影.

【详解】由已知可得，所以，，

所以，在上的投影为.

故答案为：.

12．在中，已知是x的方程的两个实根，则________．

【答案】（或）

【分析】根据根与系数关系可得，，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求，即可得其大小.

【详解】由题设，，，

又，且，

∴.

故答案为：.

13．若函数取最小值时，则___________.

【答案】

【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.

【详解】，其中

时取最小值，，

故答案为：.

14．已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是______．

【答案】13

【分析】根据的对称轴，以及其单调性，初步求得的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.

【详解】由题意可得，，则，．

因为在上单调，所以，所以，即，解得，

则，即．

当时，在上不单调，所以，即不符合题意；

当，即时，在上单调，所以，即符合题意，故的最大值是13．

故答案为：.

【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.

三、解答题

15．已知函数，.

(1)若是第一象限角，且，求的值；

(2)求使成立的x的取值集合.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）先求出，结合所在象限求得，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得，进而求出使成立的x的取值集合.

【详解】(1)，解得：，

因为是第一象限角，

所以

；

(2)，

即，

，

利用辅助角公式得：，

所以，或，

解得：，或，

故使成立的x的取值集合为或

16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

（1）求角B的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B的值．

（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．

【详解】解：

∵

∴

∵，∴

∴，

解法2：∵，

所以

∵，∴，∴

∴，∵，∴，∴

（2）由（1）知，所以的面积为，∴

因为，由正弦定理可得，

由余弦定理

∴，∴

所以的周长为

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

17．已知函数的图像如图.

(1)根据图像，求的表达式及严格增区间；

(2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围.

【答案】(1)，增区间为；

(2)[-1,2].

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间．

（2）利用函数的图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围．

【详解】(1)根据函数的图象，可得，

，所以，，

由五点法作图，可得，

，故，

令，求得，Z，

的单调递增区间，Z．

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，

把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，

由在上有解，即在上有解，

因为，，

所以，

所以的取值范围为．

18．探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O､A､B，对平面上任意一点P，都有实数与，使得，且A､B､P三点共线的充要条件是.已知中，过重心G的直线交线段AB于P，交线段AC于Q，设的面积为，的面积为，，.根据阅读材料的内容，解决以下问题：

(1)求证：；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】(1)将表示为形式，根据题意可知当P、G、Q三点共线时，x＋y＝1，据此即可证明；

(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得，由的范围及二次函数的性质即可求得的取值范围．

【详解】(1)，，

∴，，

∵G是△ABC重心，

∴

由材料可知，∵P、G、Q三点共线，∴，化简即为；

(2)由(1)，，

，

，，可知，∴，

，

，，

则当时，取得最小值，当或0时，取得最大值，

或0，故的取值范围是．

19．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：

(1)求“余正弦”函数的定义域；

(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；

(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.

【答案】(1)

(2)偶函数，理由见解析

(3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为.

【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域.

（2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性.

（3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域.

【详解】(1)的定义域为.

(2)对于函数，

，所以是偶函数.

(3)，

在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减.

在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增.

所以的最小正周期为，

在上是严格减函数，在上是严格增函数.

结合的单调性可知，的值域为.