高中数学讲义微专题25 定积分学案

www.ks5u.com微专题25 定积分

一、基础知识

1、相关术语：对于定积分

（1）称为积分上下限，其中

（2）：称为被积函数

（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为

2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解

3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：

（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么

使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：

① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）

② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。

（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。

4、定积分的运算性质：假设存在

（1）

作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度

（2）

作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如

（3），其中

作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。

5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算

（1）若为奇函数，则

（2）若为偶函数，则

6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：

（1）通过作图确定所求面积的区域

（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数

（3）若时，始终有，则该处面积为

7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况

（1）构成曲面梯形的函数发生变化

（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。

二、典型例题：

例1：已知函数，则（     ）

A.              B.             C.            D. 

思路：在的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：，而，对于无法找到原函数，从而考虑其几何意义：，为单位圆面积的，即，所以

答案：B

小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分

（2）若被积函数具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同

例2：（     ）

A.             B.             C.         D.

思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。，所以：

答案：C

例3：设，则________

思路：本题可以通过对的符号进行分类讨论，将写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解，但若观察到为偶函数，则可利用对称性得：

答案：

例4：已知，则（     ）

A.                    B.                 C.                D. 

思路：先按部就班求解定积分，再解出关于的方程即可：

解：

解得

答案：D

例5：由曲线（为参数）和围成的封闭图形的面积等于___________

思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为，结合图象可得：

答案：

例6：设（其中为自然对数的底数），则的图像与以及轴所围成的图形的面积为___________

思路：作出图像可得恒在轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以要拆成两个定积分：

答案：

例7：曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（     ）

A.               B.           C.            D.

思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为，下方为，自变量的取值范围为，其中，，所以所求面积为

答案：D

例8：如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线所围成的阴影部分的面积为（     ）

A.                  B. 

C.                  D. 

思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在中，与的交点横坐标为，所以时，余弦函数位于上方，，在处，正弦函数位于上方，

所以

答案：D

小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可

（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至右侧。新的阴影部分始终位于上方，可求得阴影部分位于，所以

例9：已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：

①            ②

③

④ 函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在

其中为区间上的“等积分”函数的组数是（    ）

A.              B.              C.                 D. 

思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在处的积分，再判断是否相等即可。

解：①

      所以①为“等积分”

② 为奇函数，为偶函数

③ 由几何含义可得：

所以③为一组“等积分”函数

④ 因为为奇函数，所以

④为一组“等积分”函数

综上所述，①③④为“等积分”函数

答案：C

例10：已知函数，直线（为常数，且），直线与函数的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当变化时阴影部分的面积的最小值为___________

思路：可解得与直线的交点为，从而用可表示出阴影部分面积：，化简后可得：，再通过导数分析单调性即可求出的最小值

解：与的交点为：，解得：

所以阴影面积

设，则

在单调递减，在单调递增

答案：

小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法

（2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“”后面的字母），然后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含参数的表达式。