高中数学讲义微专题11 函数零点的性质问题学案

微专题11  函数零点的性质

一、基础知识：

1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：

（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点

（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫

（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点

2、此类问题的处理步骤：

（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像

（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围

（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，

3、常见处理方法：

（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值

（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系

二、典型例题：

例1：已知函数，若，且，则的取值范围是（    ）

A.             B.        C.        D.

思路：先做出的图像，通过图像可知，如果，则，设，即，由范围可得：，从而，所以，而，所以

答案：C

小炼有话说：（1）此类问题如果图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点

（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量，从而用表示出，达到消元效果，但是要注意是有范围的（通过数形结合需与有两交点）；一个是通过图像判断出的范围，从而去掉绝对值。

例2：已知函数 ，若有三个不同的实数，使得 ，则的取值范围是________

思路：的图像可作，所以考虑作出的图像，不妨设，由图像可得： ，且关于轴对称，所以有，再观察，且，所以，从而

答案：

小炼有话说：本题抓住关于对称是关键，从而可由对称求得，使得所求式子只需考虑的范围即可

例3：定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）

  A.              B.              C.             D.

思路：为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点：关于对称，，且满足方程即，解得：，关于轴对称，

答案：B

例4：已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（    ）

A.                    B.              C.             D. 

思路：从解析式中发现可看做与的交点，可看做与的交点，且，从而均可由进行表示，所以可转化为关于的函数，再求最小值即可

解：由图像可得：

答案：B

例5：已知函数有两个不同的零点，则（     ）

A.      B.    C.   D.

思路：可将零点化为方程的根，进而转化为与的交点，作出图像可得，进而可将中的绝对值去掉得： ，观察选项涉及，故将②①可得：，而为减函数，且，从而，即

答案：D

例6：已知函数，存在，，则的最大值为        

思路：先作出的图像，观察可得：，所求可先减少变量个数，利用可得：，从而只需求出在的最小值即可：，所以函数在单增，在单减。从而

答案：

例7：已知定义在上的函数满足： ，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（     ）

A.               B.               C.             D. 

思路：先做图观察实根的特点，在中，通过作图可发现在关于中心对称，由可得是周期为2的周期函数，则在下一个周期中，关于中心对称，以此类推。从而做出的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看图像，，可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至，刚好与对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点，其中，与 关于中心对称，所以有。所以

答案：C

例8：函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有以下四个结论

①   ②   ③

④ 若关于的方程恰有三个不同实根，则的取值唯一

则其中正确的结论是（      ）

A. ①②③                B. ①②④            C. ①③④          D. ②③④

思路：本题涉及到的取值，及4个交点的性质，所以先作出的图像，从而从图上确定存在个交点时，的范围是，所以①正确。从图像上可看出在同一曲线， 在同一曲线上，所以②③在处理时将放在一组，放在一组。

②涉及到根的乘积，一方面为方程的两根，所以由韦达定理，可得，而为方程的两根，且，从而，即，所以有，②正确

 ③由②中的过程可得：，，所以，从而，而， 设，则为增函数，所以

③正确

④可将问题转化为与的交点个数问题，通过作图可得的值不唯一

综上所述：①②③正确

答案：A

例9：已知函数，若，且，则的值（      ）

A. 恒小于2              B. 恒大于2             C. 恒等于2           D. 与相关

思路：观察到当时，为单调函数，且时，的图像相当于作时关于对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得时，必在两段上。设 ，可得，考虑使用代换法设，从而将均用表示，再判断与的大小即可。

解：设，不妨设，则

若，则为减函数，且  

若，则为增函数，且  

的值恒大于2

答案：B

例10：定义函数，则函数在区间（）内的所有零点的和为（      ）                                    

A．            B．            C．         D．

思路：从可得：函数是以区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍，同时竖直方向上缩为原来的，从而先作出时的图像，再依以上规律作出的图像，的零点无法直接求出，所以将转化为，即与的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可归纳出中极大值点为，所以所有零点之和为

答案：D

小炼有话说：（1）本题考查了合理将轴划分成一个个区间，其入手点在于的出现，体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。

（2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现恰好与相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当时，，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置

三、近年模拟题题目精选

1、（2016四川高三第一次联考）已知函数，若存在，当时，，则的取值范围为（    ）

A.      B.     C.      D. 

2、（2016，苏州高三调研）已知函数有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则_________

3、已知函数的零点分别为，则的大小关系是_______

4、已知函数的零点为，有使得，则下列结论不可能成立的是（      ）

A.             B.             C.            D. 

5、已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（     ）

A.               B.              C.             D.

6、已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（     ）

A.            B.              C.             D.

习题答案：

1、答案：C

解析：如图可知：

2、答案：

解析：，即与恰有三个公共点，通过数形结合可得：横坐标最大值为直线与曲线在相切的切点。设改点，的导数为，所以，代入到所求表达式可得：

3、答案：

解析： ，在同一坐标系下作出如图所示可得。令，解得，所以，从而

4、答案：C

解析：可判断出为减函数，则包含两种情况，一个是均小于零。可知当时，。所以的零点必在中，即，A选项可能；另一种情况为，则，即B,D选项可能。当时，由和为减函数即可得到不再存在零点。

5、答案：B

解析：作出的图像可知若有四个不同的解，则，且在这四个根中，关于直线对称，所以，，所以，即，所以，由可得的范围是

6、答案：B

解析：不妨设，作出的图像可知若与有四个不同交点，则，且关于轴对称。所以有即

因为，所以，求出该表达式的范围即为