高中数学讲义微专题74 利用几何关系求解圆锥曲线问题学案

www.ks5u.com第74炼 利用几何关系求解最值问题

一、基础知识：

1、利用几何关系求最值的一般思路:

（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关

（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。

（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置

（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。

2、常见的线段转移：

（1）利用对称轴转移线段（详见例1）

（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。

（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。

（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径

（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）

3、与圆相关的最值问题：

（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点

（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦

解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小

（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于

（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为

解：，则若最小，则只需最小即可，

所以点为过作垂线的垂足时，最小

过作圆的切线，则切线长最短

4、与圆锥曲线相关的最值关系：

（1）椭圆：设椭圆方程为

① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为

② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

（2）双曲线：设双曲线方程为

① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值

② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

（3）抛物线：设抛物线方程为

① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即

② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为

二、典型例题：

例1：已知在平面直角坐标系中，点，为轴上一动点，则的最小值为___________

思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：，但从图像上发现无论在何处，，无法取到等号。（即使共线时等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作关于轴的对称点，从而有，所以转化为，可知当三点共线时，，即

答案：

小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。

（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件

例2：设抛物线上一点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（     ）

A.                 B.                 C.                 D.  

思路：通过作图可观察到直接求的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得为到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为（其中是抛物线的焦点，），所以，观察图像可得：

答案：A

例3：已知过抛物线的焦点的弦与抛物线交于两点，过分别作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________

思路：设抛物线的准线为，由抛物线可知 ，观察图像可知。而由抛物线定义可得：，所以，即要求出的最小值，只需求出的最小值，即抛物线焦点弦的最小值，由抛物线性质可知当轴时，最小，，所以

答案：

例4：已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆上，则的最小值为（    ）

A.                   B.              C.               D. 

思路：由图像可知，固定点，则圆上到距离的最小值，所以只需在直线上找到与圆心距离最小的点，即到直线的距离。需要确定抛物线方程和点坐标，由可得准线方程为，所以，抛物线方程为，焦点 设，则，切线斜率，从而，即，，所以直线方程：，从而

答案：A

例5：抛物线上的点到直线距离的最小值是（      ）

A.             B.              C.              D. 

思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于的函数，设抛物线上的点，则，所以最小值为

思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切点坐标为，所求函数的导数，因为切线与平行，所以，可得，进而，故切线方程为：，整理后可得：，所以两直线距离，即抛物线上的点到距离的最小值

答案：B

例6：已知点是抛物线的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为（    ）

A.                  B.                C.                 D. 

思路：本题含两个动点，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定，则圆上距离最近的点为与圆的交点，即，所以只需考虑的最小值即可，通过移动可知，无论位于何处，，所以不是最小值。考虑转移线段，抛物线的准线，则，所以（即到准线的距离，所以

答案：C

例7：已知动点在椭圆上，若点的坐标为，，则的最小值是（    ）

A.              B.             C.               D. 

思路：由椭圆方程可知即为椭圆的焦点，由可知是以为圆心，半径为1的圆上的点，在圆外，且由可得，所以即为圆上的切线，的最小值即切线长的最小值，由圆的性质可得：，所以只需找到的最小值即可，由椭圆性质可知：，故

答案：B

例8：设是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，点的坐标为，则的最大值为___________

思路：先作出椭圆图像，标出定点的位置，若从入手，则由图发现无论在何处，。与所求最大值不符。考虑进行线段转移，发现为左焦半径，所以考虑作出右焦点，利用进行线段转移。即，只需求出，结合图像可得，且，从而可得：

答案：15

例9：设是椭圆上一点，分别是两圆和 上的点，则的最小值和最大值分别为（      ）

  A. 4,8               B.                C.             D. 

思路：本题有三个动点，但观察可得之间没有联系，所以若达到最小，则只需分别达到最小即可。固定点，可知，所以，可知恰好为椭圆两个定点，所以由椭圆定义可得：，所以，同理可知：，所以

答案：A

例10：设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是___________

思路：本题中均为动点，所以考虑先固定一点不动，比如点，寻找此时达到最值时位置的规律，进而再让运动起来，找到最值。观察图像可得点固定时，达到的最大值时在延长线与的交点处，即，由于，所以只需找到的最大值即可，设，而，则，由可得，代入消去可得：，因为，所以当时，，从而

答案：

三、历年好题精选

1、（2014，安徽）在平面直角坐标系中，已知向量，点满足，曲线，区域，若为两段分离的曲线，则（     ）

A.       B.     C.        D.

2、已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线的距离之和的最小值是（     ）

A.              B.              C.              D. 

3、已知点和，是椭圆上一动点，则的最大值为_________

4、已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆上，则的最小值为（    ）

A.               B.               C.              D. 

5、已知圆，圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为 （    ）

A．         B．        C．         D．

6、（2016，绵阳二模）已知点P在单位圆上运动，点P到直线与的距离分别记为，则最小值为_________．

7、已知点是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为_________

习题答案：

1、答案：A

解析：由的特点可以以所在直线为坐标轴建系，则有，所以曲线上点的坐标为，即圆心是原点的单位圆；另一方面可得，所以区域为以为圆心，为半径的圆环。通过数形结合可得若为两段分离的曲线，意味着以为圆心，为半径的圆均与单位圆相交。所以

2、答案：A

解析：观察直线的方程恰好是抛物线的准线，所以想到到的距离与相等（是抛物线的焦点）。以此为突破口进行线段转移，所以，通过作图观察可得（等号成立条件：为到的垂线与抛物线的焦点），且 ，所以

3、答案：10＋2

解析：可知是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为，连接并延长交椭圆于，则是使取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点有：

4、答案：A

解析：由点在抛物线准线上可得：

设    解得：（舍）

  由可得的方程为：

在直线上，在圆上

5、答案：A

解析：设圆的半径为，即，可知

关于轴对称点为

，等号成立条件：共线

6、答案：

解析：设点，可得，，所以，所以的最小值为

7、答案：15

解析：在双曲线中，