高中数学讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题学案

www.ks5u.com第63炼 立体几何解答题的建系设点问题

    在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。

一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点

2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上

（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件

（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点

3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论：

（1）线面垂直：

① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直

② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直

③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直

④ 直棱柱：侧棱与底面垂直

（2）线线垂直（相交垂直）：

① 正方形，矩形，直角梯形

② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）

③ 菱形的对角线相互垂直

④ 勾股定理逆定理：若，则

（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类

1、能够直接写出坐标的点

（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：

轴：  轴：   轴： 

规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：

则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了

2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

   如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）

   由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：

3、需要计算的点

① 中点坐标公式：，则中点，图中的等中点坐标均可计算

② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ，    

二、典型例题：

例1：在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标

解：平面  

  两两垂直

以为轴建立直角坐标系

坐标轴上的点：

中点：中点

      中点

      中点

综上所述：

小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。

例2：在长方体中，分别是棱上的点，，，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标

思路：建系方式显而易见，长方体两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设等，则点的坐标都含有，不便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。

解：因为长方体

两两垂直

以为轴如图建系，设为单位长度

例3：如图，在等腰梯形中，，， 平面，且，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。

思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直线即可。由题意，不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系

方案一：（选择为轴），连结

可知  在中

由可解得

  平面

以为坐标轴如图建系：

方案二（以 为轴）

过作的垂线  平面

以为坐标轴如图建系：

（同方案一）计算可得：

小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即轴），对于轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足的直线为轴建立的坐标系。

例4：已知四边形满足，是中点，将翻折成，使得平面平面，为中点

思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形找一组过的垂线即可建系

解：取中点，连结

是等边三角形

平面平面

平面，连结 

四边形为的菱形  为等边三角形

两两垂直

如图建系，设为单位长度

为中点  

例5：如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，且平面，点为的三等分点（靠近），建立适当的直角坐标系并求各点坐标

思路：由平面，可得作为轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取作为轴。在所有点中只有的坐标相对麻烦，对于三等分点可得，从而转化为向量关系即可求出坐标

解：平面

菱形   

两两垂直

以为坐标轴如图建系

可得：

设   由可得：

小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质

（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来

例6：如图所示的多面体中，已知正方形与直角梯形所在的平面互相垂直，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标

思路：题目已知面面垂直，从而可以找到与底面垂直，再由底面是正方形，可选为轴，图中点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到

解：平面平面

又因为直角梯形  

平面

正方形   

两两垂直

以为轴建立直角坐标系

坐标轴上的点：

底面上的点：

点两种确定方式：

① 可看其投影，落在中点处，且高度为1，所以

② 设  

综上所述：

例7：如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立适当的坐标系并确定各点坐标

思路：平面，从而可作轴，只需在平面找到过的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有坐标相对麻烦，但由可以利用向量进行计算。

解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）

如图建系：则

设，则  

由可得：  

综上所述：

方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）

如图建系：由计算可得

设，则  

由可得：  

综上所述：

小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。（相信所给的目的也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础

例8：如图，在四棱柱中，侧棱,,,

,且点和分别为的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标

思路：由，可得两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。

解： 侧棱

   两两垂直

以为轴建立直角坐标系

底面上的点：

由可得为等腰三角形，若为中点，则

可投影到底面上的点：

因为和分别为的中点

综上所述：

例9：如图：已知平面，点在上，且，四边形为直角梯形，，建立适当的坐标系并求出各点坐标

思路：由条件可得，而平面，可得到平面，从而以为轴建系。难点在于求底面梯形中的长度。可作出平面图利用平面几何知识处理。

解：平面，

平面

两两垂直，如图建系：

中：

 为等边三角形

  为等边三角形

在底面投影为且   

综上所述：

例10：已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点，又知，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标

思路：本题建系方案比较简单，平面，进而作轴，再过引垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是的投影不易在图中作出（需要扩展平面），第一个问题可先将高设为，再利用条件求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。

解：过作的垂线 ，平面

，而

以为轴建立直角坐标系

，设高为

则，设

则

由可得：

，解得

设  

而且  

综上所述：