2022年广东省河源市中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省河源市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各数中，位于到之间的是

A.  B.  C.  D.

2. 神舟十三号的翟志刚、王亚平、叶光富名航天员计划在空间站工作生活约秒，将于年月首次采用快速返回方案“回家”，这项技术已经在航天大国当中处于领先地位．数据用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如题图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

5. 已知关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 周日，小度从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小度离家的距离单位：与他所用的时间单位：之间的函数关系如题图所示，则下列结论中，错误的是

A. 小度家离报亭的距离是
B. 小度从家去报亭的平均速度是
C. 小度在报亭看报用了
D. 小度从家到报亭行走的速度比报亭返回家的速度快

7. 已知两个变量和，它们之间的组对应值如下表所示：

则与之间的关系式可能是

A.  B.  C.  D.

8. 跳伞运动员小李在米的空中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时小李离着落点的距离是

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，∽，：：，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 已知关于的一元二次方程，实数、、满足，则下列说法正确的是

A. 方程有两个实数根 B. 方程有两个不相等的实数根
C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况无法确定

11. 如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：
    ；；平分；；；≌，其中一定成立的是

A.  B.  C.  D.

12. 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论不正确的是

A. 与的面积相等
B. 与始终相等
C. 四边形的面积不会发生变化
D. 当点是的中点时，点一定是的中点
 

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 计算：______．
14. 因式分解：______．
15. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入个白球每个球除颜色外其余都与红球相同摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个．
16. 如图，在梯形中，已知，点为的中点，设的面积为，梯形的面积为，则与的关系为______．
     

17. 如图，使中间部分形成一个小的等边若的面积是的，则的值为______．

18. 已知抛物线经过点，且与轴交于，两点，若点为该抛物线的顶点，则使面积最小时抛物线的解析式为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 方程，如果，求的值．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共5小题，共52.0分）

20. 某学校为了了解学生对书画、音乐、体育、电脑四个方面的兴趣爱好，选取了部分学生进行调查每人只能选取其中的一种，统计后制成了不完整的折线统计图和扇形统计图，根据图中信息，回答下列问题：
    
    在这次调查中，一共调查了______名学生；
    在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角为______度；
    将折线统计图补充完整．
    
    
    
    
    
    
     
21. 端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于自然天象崇拜，由上古时代祭龙演变而来．仲夏端午，苍龙七宿飞升至正南中天，处于全年最“正中”之位，即如易经乾卦第五爻的爻辞曰：“飞龙在天”扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．端午节来临之际，某商店老板用元购进一批蛋黄粽，又用元购进了一批肉粽，所购肉粽数量是蛋黄粽数量的，且肉粽进价比蛋黄粽进价每个多元．
    求肉粽和蛋黄粽每个的进价；
    端午节当天，老板分别以元每个、元每个的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降元，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少元，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，扇形的半径，圆心角，点是上异于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点，在线段上，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    当点是上运动时，在，，这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形．
    如图，半圆的直径为，，点在过点的切线上，且，点是上的动点不在点、上，求证：四边形为准平行四边形．
    如图，准平行四边形内接于，，若的半径为，则：
    准平行四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
    准平行四边形的面积有最大值吗？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

已知抛物线与轴交于点，顶点为．
当，时，求抛物线的顶点的坐标；
求抛物线与轴的另一个交点的坐标用含，的式子表示；
若经过点的直线与抛物线交于点，求直线与轴和轴所围成的三角形的面积．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
位于到之间的是，
故选：．
根据有理数的大小比较法则：正数都大于； 负数都小于； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．
本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，掌握有理数大小比较的法则是关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，故A正确，符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，单项式除单项式法则逐项判断．
本题考查整数的运算，解题的关键是掌握单项式乘单项式，合并同类项及单项式除单项式法则．
 

4.【答案】
 

【解析】解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小结合不等式组的解集可得的值．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、由纵坐标看出小度家离报亭的距离是，故A说法正确，不符合题意；
B、由纵坐标看出小度家离报亭的距离是，由横坐标看出小度去报亭用了分钟，小度从家去报亭的平均速度是：，故B说法错误，符合题意；
C、由横坐标看出小度在报亭看报用了，故C说法正确，不符合题意；
D、小度从家到报亭行走的时间比报亭返回家所用时间小，所用小度从家到报亭行走的速度比报亭返回家的速度快，故D说法正确，不符合题意；
故选：．
根据特殊点的实际意义即可求出答案．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意知，有两个变量，和，其中为自变量，为因变量，
当自变量增加时，因变量减少，
所以当自变量为时，即增加了个，则因变量应减少了，即，
即，
故选：．
根据变化规律，自变量加，因变量就减少，自变量增加个，因变量就从到少个，求解即可．
本题考查的是求一次函数的解析式，关键是找到自变量与因变量的变化趋势．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．
【解答】
解：根据题意，此时小李离着落点的距离是，
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】解：∽，：：，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
：：，D错误；
故选：．
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
关于的一元二次方程有两个实数根，
故选：．
把变形为，代入即可得出，从而得出方程有两个实数根．
】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．
由直径所对圆周角是直角，
由于是的圆心角，是的圆内部的角，
由平行线得到，再由圆的性质得到结论判断出；
用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
用三角形的中位线得到结论；
得不到和中对应相等的边，所以不一定全等．
【解答】
解：是的直径，
，
，成立；
是的圆心角，是的圆内部的角，
，不成立；
，
，
，
，
，
平分，成立；
是的直径，
，
，
，
，
点为圆心，
，成立；
由有，，
点为中点，
是的中位线，
，成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，不成立．
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】解：由反比例函数系数的几何意义判断各结论：
A.与的面积相等；正确，由于、在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为，不符合题意；
B.与始终相等；错误，不一定，只有当四边形为正方形时满足，符合题意；
C.四边形的面积不会发生变化；正确，由于矩形是、而三角形、三角形为定值，则四边形的面积只与有关，不符合题意；
D.连接，点是的中点，
则和的面积相等，
的面积的面积，与的面积相等，
与的面积相等，
和面积相等，
点一定是的中点，不符合题；
故选：．
利用反比例函数中的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是个恒等值即易解题．
此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

13.【答案】
 

【解析】解：


，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提公因式，再根据完全平方公式计算即可．
本题考查了提公因式法和完全平方公式，解题时注意有公因式，先提取公因式．
 

15.【答案】
 

【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，口袋中有个白球，
假设有个红球，
，
解得：，
口袋中有红球约有个．
故答案为：．
根据口袋中有个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：取中点，连接，过作于，
，为中点，为中点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
取中点，连接，过作于，交于，根据梯形的中位线定理得到，，，根据三角形的面积和梯形的面积计算即可．
本题考查的是梯形的中位线定理，三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用是解此题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：延长交于，设与的交点为，与的交点为，
，，
，
，
，
同理，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
，
与是等边三角形，
∽，
，
，
的值为，
故答案为：．
延长交于，设与的交点为，与的交点为，根据已知条件得到是等边三角形，解直角三角形得到，，，，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等边三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：由题意知，即，
、两点在抛物线上，
，，
又经过，代入得，，
，点纵坐标为，
，
所以，当时，最小，
此时，该抛物线解析式为．
故答案是：．
A、两点在轴上，用表示线段的长，由两根关系转化为、的表达式，根据顶点坐标公式得，故有，将点代入解析式得，即转化为关于的二次函数，求面积最小时、的值．
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路．
 

19.【答案】解：，
解得，
把代入得，
解得，
所以方程组的解为，
即的值为．
 

【解析】利用代入消元法解方程组可得到的值．
本题考查了二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把二元一次方程组转化为一元一次方程求解．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：在这次调查中，调查的总学生数是：人；

在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角为：；
故答案为：；

音乐的人数：人，
书画的人数：人，
补图如下：

根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数；
用乘以“体育”所占的百分比即可；
用总人数乘以音乐所占的百分比求出音乐的人数，再用总人数减去其它项目的人数求出书画的人数，从而补全统计图．
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．
 

21.【答案】解：设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每个肉粽的进价为元，每个蛋黄粽的进价为元．
购进蛋黄粽的数量为个，
购进肉粽的数量为个．
依题意得：，
解得：．
答：的值为．
 

【解析】设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元，利用数量总价单价，结合用元所购肉粽数量是用元所购蛋黄粽数量的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出每个蛋黄粽的进价，再将其代入中即可求出每个肉粽的进价；
利用数量总价单价，可求出购进肉粽和蛋黄粽的数量，利用少赚的总利润每个少赚的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

22.【答案】证明：连接交于，

，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：不变，
在矩形中，，
，
，
由题知，和随着点的移动而发生变化，
故在，，这三条线段中，长度不变且长度为．
 

【解析】连接交于，证四边形是矩形，推出，即可；
根据矩形的性质得出，由题知，和随点的变化而变化，而，求出的长度即可．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，圆的性质等知识是解题的关键．
 

23.【答案】证明：且，
是等腰直角三角形，则，
是圆的切线，
，则，
又，
，
，
，
，
，，
，
则，
即，
四边形为准平行四边形；
解：准平行四边形的面积是线段的长的二次函数，理由如下：

准平行四边形内接于，，
，，则，
是直径，且，
将绕点顺时针旋转，得，
，，
，
点，，三点共线，
是等腰直角三角形，
，
准平行四边形的面积没有最大值，
当最大时，就最大，
即最大，此时为直径，
则，
此时四边形不是准平行四边形，与题意矛盾，
准平行四边形的面积没有最大值．
 

【解析】可说明，是等腰直角三角形，得，再利用圆周角定理得，则，再说明，从而证明结论；
将绕点顺时针旋转，得，则，知点，，三点共线，可得是等腰直角三角形，从而得出；
当最大时，最大，此时为直径，则，此时四边形不是准平行四边形，与题意矛盾．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，旋转的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，理解准平行四边形的定义是本题的关键，添加恰当的辅助线是本题的难度．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于点 ，
，
把，代入上式，得，
解得，
．
抛物线的顶点的坐标是；
由知，，则，
则抛物线，
方程的两个根是，．
，
抛物线与轴的另一个公共点的坐标是；
如图：

在抛物线上，由知也在抛物线上，
，即，
，
．
由得到顶点的坐标是，
把点代入直线解析式得：，
．
把代入，得
联立、并求解得：，或，，
，
，，
直线，
直线与轴和轴的交点分别为、．
所围成的三角形的面积是：．
 

【解析】利用待定系数法确定函数解析式即可；
由知，，则则利用根与系数的关系求得方程的两个根是，从而求得抛物线与轴的交点；
根据点和都在抛物线上知，即，求直线表达式即可求解．
此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．