2021合肥一中、六中、八中高一下学期期末考试数学试题含答案

2020-2021学年合肥一中、六中、八中联盟

高一年级第二学期期末考试

数学命题

试卷满分：150分    考试时长：120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数z满足，则z=（    ）

A. B. C. D.

2.已知向量，，若，则实数m的值为（    ）

A.9 B.7 C.17 D.21

3.某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85  87  88  89  89  90  91  91

92  93  93  93  94  96  98，则这组数据的40%分位数、90%分位数分别为（    ）

A.90.5，96 B.91.5，96 C.92.5，95 D.90，96

4.从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（    ）

A.“至少一个白球”和“都是红球” B.“至少一个白球”和“至少一个红球”

C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球” D.“恰有一个白球”和“都是红球”

5.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ）

①若，，则或 ②若，，则

③若，，则 ④若，，，，则

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④

6.在一次体检中，甲、乙两个班学生的身高统计如下表：

其中，则两个班学生身高的方差为（    ）

A.19 B.18 C.18.6 D.20

7.在一个掷骰子的试验中，事件A表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ）

A. B. C. D.

8.在中，已知，则的形状是（    ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形

9.如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

10.如图，在中，，，点D为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（    ）

A. B. C. D.

11.如图，在平行四边形中，，，动点M在以点C为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

12.已知四棱锥的底面是边长为8的正方形，平面，且，E，F，M为，，的中点，则经过E，F，M的平面截四棱锥的截面面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在中，，，，则____________.

14.底面直径为2的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为____________.

15.在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通过的概率为_______________.

16.在中，角A，B，C满足，则_________.

三、解答题：本题共6小题，共70分.其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知复数.

（1）若z在复平面中所对应的点在直线上，求a的值；

（2）求的取值范围.

18.某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在（难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为100分的试卷平均分为68分，则难度系数），某次数学考试（满分100分）后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级1800人的成绩情况，已知学生的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，统计数据如图所示，根据图中的数据，回答下列问题：

（1）试估算该校高一年级学生获得等级为B的人数.

（2）若等级A，B，C，D，E分别对应90分，80分，70分，60分，50分，请问按王老师的估计：本次考试试卷命制是否符合要求.

（3）王老师决定对成绩为E的16名学生（其中男生4人，女生12人）先找4人进行单独辅导，按分层抽样抽取的4人中任取2人，求恰好抽到1名男生的概率.

19.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2）若的面积为2，求的周长的最小值.

20.如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，点M，G分别在，上，且，.

（1）证明：直线平面.

（2）若点G恰好是点在平面内的正投影，此时，求三棱锥的体积.

（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）

21.合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域.

（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；

（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值.

22.如图，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直线上.

（1）求证：；

（2）若P是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的正弦值.

（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）

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高一年级第二学期期末考试

数学参考答案

一、选择题

1.C   2.B   3.A   4.D   5.D   6.A   7.B   8.D   9.C   10.A   11.A   12.B

二、填空题

13.2 14. 15.0.9 16.

三、解答题

17.解析：（1）化简得，………………………………2分

所以z在复平面中所对应的点的坐标为，………………………………………………3分

在直线上，所以，得，…………………………………………5分

（2），……………………7分

因为，且，…………………………………………………………9分

所以，所以的取值范围为.………………10分

18.解析：（1）高一年级获得成绩为B的人数为（人）.……………3分

（2）王老师所带班级平均分为，………………6分

所以估计难度系数为0.674，符合要求.…………………………………………………………7分

（3）按分层抽样，抽到的4人中男生1人，女生3人，……………………………………8分

4人中任取2人共有6种取法，……………………………………………………………………9分

2人中恰有1名男生有3种取法，……………………………………………………………………10分

所以恰好抽到1名男生的概率为.………………………………………………………………12分

19.解析：（1）由已知，得，

由正弦定理，得，

即.…………………………………………………………………………………2分

再由余弦定理得.…………………………………………………………4分

又，所以.…………………………………………………………………………5分

（2）由（1）及已知得，的面积为，所以.…………6分

又，…………………………………………………………………………7分

于是，………………9分

所以三角形周长，…11分

所以周长最小值为，

此时，.……………………………………………………………………12分

20.解析：（1）过G作交于E，连接，

因为为等边三角形，

所以，又，

所以，……………………………………………………………………1分

又，

所以，……………………………………………………………………2分

所以四边形为平行四边形，………………………………………………4分

所以，

又平面，平面，所以直线平面.…………6分

（2）因为，所以，

又，所以，在直角三角形中，，…………………………………7分

，…………………………………………………………9分

又平面

所以.……………………………………12分

21.解析：（1），∴，………………………………2分

又，∴，∴，…………………………………………4分

，………………………………………………………………5分

（2）不妨设，，

于是①，……………………………………………………………………6分

②，…………………………………………………………………7分

③，………………………………………8分

∴

，………………11分

当且仅当时取等号，∴最大值为.………………12分

22.解析：（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴，

又平面，∴，，∴平面，……………………3分

平面，∴.………………………………………………………………4分

（2）由（1）知平面，

∴，，∴，

设，则，

∵，，，，∴，………………6分

∴，

∴，∴，…………………………………………………………………………7分

连接，过P作交于O点，易知，

过P作，E为垂足，连接，

，，平面，平面，所以，

则为二面角的平面角，………………………………………………10分

在中，易求，，，由等面积法可知，

所以.……………………………………………………12分