2021湖南省五市十校教研教改共同体高一下学期期末考试数学试题含答案

姓名________________  准考证号________________

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

湖南省五市十校教研教改共同体·2021年上学期高一期末考试

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．    B．    C．    D．

2．已知向量，，若，则实数的值是

A．     B．     C．1     D．2

3．若，为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

4．某小区居民上网年龄分布图如图所示，现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为的样本。若样本中90后比00后多52人，则

A．400     B．450     C．500     D．550

5．函数，的部分图像大致是

A      B      C      D

6．已知函数在单调递减，在单调递增，则的最小正周期为

A．     B．     C．     D．

7．设，，，则

A．   B．    C．    D．

8．已知，，分别为内角，，的对边，，则的最大值为

A．2     B．    C．4     D．8

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知复数，则下列命题正确的是

A．的虚部为        B．

C．          D．在复平面内对应的点位于第三象限

10．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内。现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示。观察图形，则下列说法正确的是

A．频率分布直方图中第三组的频数为10人

B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分

C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分

D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分

11．已知三棱锥的顶点均在表面积为的球的球面上，、、两两垂直，，，则下列结论中正确的是

A．球的半径为        B．

C．到平面的距离为     D．到平面的距离为

12．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为

A．     B．    C．    D．3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量，满足，，，则与的夹角为________________。

14．从长度（单位：）分别为2，3，4，5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为________。

15．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则________________。

16．《九章算术》中，刍甍（chú  méng）是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段。在如图所示的刍甍中，平面平面，，且四边形为等腰梯形，，，，则刍甍的体积为________________，

二面角的余弦值为________________。

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

在中，，设（、为实数）。

（1）求，的值；

（2）若，，求。

18．（12分）

函数的部分图像如图所示。

（1）写出图中、的值；

（2）将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像，求方程在区间上的解。

19．（12分）

为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：

理科：79，80，81，79，94，92，85，90

文科：94，80，90，81，73，84，90，80

（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；

（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概率。

20．(12分)

如图,四棱锥中，为等边三角形，平面，，，为的中点。

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值。

21．(12分)

内角，，的对边分别为，，，，。

（1）证明：；

（2）若，求的周长。

22．(12分)

如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，、分别在，上，，。

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）求平面截三棱柱所成大小两部分的体积比。

高一数学参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．C解析：，，

。

2．C解析：由已知可得，。

3．B解析：由，或，由 ，，“”是“”的必要不充分条件。

4．A解析：根据题意可知，解得。

5．D解析：易知，为奇函数：当时，单调递增，单调递减，单调递增，故选D。

6．D解析：由题意结合余弦函数图像可得，，最小正周期。

7．A解析：，，，

，，，

，，即，。

8．B解析：由已知及正弦定理得，，两边除以得，当，都为锐角时，，，当且仅当时，等号成立，

。若，其中一个为钝角时，，的最大值为。

9．AC解析：，∴AC正确。

10．ABC解析：分数在内的频率为，所以第三组的频数为（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为，

，所以中位数位于，估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为（分），故D错误。

11．ABD解析：将三棱锥构造在长体中，，，，由等体积法可得到平面的距离，设与平面交于点，则由几何关系可得，∴点到平面的距离。

12．BD解析：如图，，，即，设，则，三点共线，，，

，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3。

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．   14．   15．  16．    （第一空2分，第二空3分）

13．解析：，∴夹角为。

14．解析：4条线段中任取3条的可能情况有234，235，245，345，共4种，其中能构成钝角三角形的情况有234，245，共2种，故概率为。

15．解析：，，，，

，，，。

16．    解析：连接，则刍甍被分割为四棱锥和三棱锥，平面平面，平面，过点作，则平面，

，，∴刍甍的体积为

。过点作，连接，则，为二面角的补角，在中，由等面积法易得，，

，∴二面角的余弦值为。

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解析：，∴过点作平行四边形可得，，。（4分）

（2）由（1）得，，。（10分）

18．解析：（1），。（4分）

（2）由（1）及题意可得，

由可得，或，，解得或，，，∴方程的解为。（12分）

19．解析：（1）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好。理由如下：

理科组同学成绩的平均数，

方差；文科组同学成绩的平均数。

方差；

由于，，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥更好。（7分）

（2）设理科组同学中成绩不低于90分的3人分别，，，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为，，，则从他们中随机抽出2人有以下15种可能：，，，，，，，，，，，，，，。其中全是文科组同学的情况有，，三种。记“抽出的2人中至少有一名理科组同学同学”为事件则。（12分）

20．解析：（1）取中点，连接，，

则，∴四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面（4分）

（2）平面，是正三角形，，，

，平面，

，平面，

平面，∴平面平面。（8分）

（3）过点作，则平面，即为直线与平面所成角，

，。（12分）

21．解析：（1），，为锐角，，

，

由正弦定理可得。（6分）

（2）由（1）知，

，

设，，，则，解得，

的周长为。（12分）

22．解析：（1）（Ⅰ）设正方形边长为3，过向作垂线交于，

连接，则，，，，

由余弦定理知，，

，，

，。（4分）

（2）连接交于，延长交于，连接，则，，

，平面。（8分）

（3）由（2）得平面即为截面。（8分）

，，

设正方形边长为1，则，，

∴体积比为。（12分）