2022年 高三 数学考前20天终极冲刺函数之导数专题训练（含答案解析）

这是一份2022年 高三 数学考前20天终极冲刺函数之导数专题训练（含答案解析），共30页。
2022年高考数学考前20天终极冲刺之导数
一．选择题（共8小题）
1．（2022•辽宁模拟）已知是函数f（x）＝xln（2x）﹣ax的极值点，则实数a的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．e
2．（2022•上饶一模）设f（x）为可导函数，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．
3．（2022•河南模拟）已知函数f（x）＝cosx+ex+e﹣x﹣，则关于x的不等式f（2x﹣1）＜f（3+x）的解集为（　　）
A．（﹣1，2） B．
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）
4．（2022•大通县一模）已知点A（1，1）在曲线E：y＝x2+klnx上，曲线E在A处的切线l与圆C：x2+y2﹣4y+3＝0相切，则实数k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2022•湖南模拟）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．[1，+∞）
6．（2022•全国一模）设函数f（x）＝﹣（a+1）x+alnx有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）
7．（2022•鹰潭一模）已知函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的实数x都有f'（x）＝2（x﹣a）ex+f（x），且f（0）＝1，若f（x）在（﹣1，1）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣] B．（﹣） C．（0，1） D．（0，1]
8．（2022•安徽一模）已知函数f（x）＝aex﹣2﹣lnx+21na，若f（x）≥3，恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．[1，+∞） B．[，+∞） C．[e，+∞） D．[2e，+∞）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2021•新北区校级三模）若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2022•漳州模拟）已知函数f（x）＝ex，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线y＝f（x）的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f（x）的切线斜率可以是﹣1
C．过点（0，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有1条
D．过点（0，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有2条
（多选）11．（2021•深圳模拟）设函数f（x）＝ex﹣ex和g（x）＝lnx﹣kx2+（1﹣2k）x+（k∈R），其中e是自然对数的底数（e＝2.71828…），则下列结论正确的为（　　）
A．f（x）的图象与x轴相切
B．存在实数k＜0，使得g（x）的图象与x轴相切
C．若k＝，则方程f（x）＝g（x）有唯一实数解
D．若g（x）有两个零点，则k的取值范围为（0，）
（多选）12．（2021•顺德区模拟）已知a＞0，b＞0且ea+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（　　）
A．a＞b B．ea＞b C．ea+b＞2 D．a+lnb＞0
三．填空题（共4小题）
13．（2020•海南模拟）设f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣2）＝﹣3，且对任意x∈R都有f'（x）＜2，则f（2）＝　 　，使得f（ex）＜2ex﹣1成立的x的取值范围是　 　．
14．（2021•黔江区校级模拟）函数f（x）＝x2﹣axlnx在上不单调，则实数a的取值范围是　 　．
15．（2020•毕节市模拟）已知函数f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）ex，则f（x）的单调递减区间为　 　．
16．（2022•安徽一模）过坐标原点且与曲线y＝﹣xlnx﹣1相切的直线方程为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2022•赣州一模）设函数．
（1）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线l与直线x﹣2y+1＝0互相垂直，求l的方程；
（2）若f（x）＞0对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2022•开封二模）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a＞0）．
（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若对任意的x＞0，有f（x）≤b+a（b∈R），证明：b≥﹣2a．
19．（2021•金安区校级模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．
（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；
（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：x1x2＞．
20．（2022•四川模拟）已知函数，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l．
（1）求l的方程；
（2）是否存在实数a，使得l与函数f（x）的图象有2个不同公共点？若存在，求a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

2022年高考数学考前20天终极冲刺之导数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022•辽宁模拟）已知是函数f（x）＝xln（2x）﹣ax的极值点，则实数a的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．e
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】令＝0，解得a，并且验证即可得出．
【解答】解：f′（x）＝ln（2x）+1﹣a，
∵是函数f（x）＝xln（2x）﹣ax的极值点，
∴lne+1﹣a＝0，解得a＝2，
验证：f′（x）＝ln（2x）﹣1，＝0，
x∈（0，）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴是函数f（x）＝xln（2x）﹣ax的极小值点，
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（2022•上饶一模）设f（x）为可导函数，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．
【考点】导数及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】将已知关系式化为×2，由此即可求解．
【解答】解：因为f（x）为可导函数，且，
则×2＝2f′（1）＝﹣1，
所以f′（1）＝﹣，即为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，
故选：D．
【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
3．（2022•河南模拟）已知函数f（x）＝cosx+ex+e﹣x﹣，则关于x的不等式f（2x﹣1）＜f（3+x）的解集为（　　）
A．（﹣1，2） B．
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：f（x）的定义域是R，
f′（x）＝﹣sinx+ex﹣e﹣x﹣x，
f″（x）＝﹣cosx+ex+e﹣x﹣1≥2﹣2＝0，
∴f′（x）在R单调递增，而f′（x）＝0，
∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
而f（﹣x）＝cosx+e﹣x+ex﹣x2＝f（x），
故f（x）是偶函数，
由f（2x﹣1）＜f（3+x）得|2x﹣1|＜|3+x|，
解得﹣＜x＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，是中档题．
4．（2022•大通县一模）已知点A（1，1）在曲线E：y＝x2+klnx上，曲线E在A处的切线l与圆C：x2+y2﹣4y+3＝0相切，则实数k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】求得y＝x2+klnx的导数，可得切线的斜率和方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得所求值．
【解答】解：y＝x2+klnx的导数为y′＝2x+，
可得x＝1处的切线的斜率为2+k，
切线的方程为y﹣1＝（2+k）（x﹣1），
即为（2+k）x﹣y﹣k﹣1＝0，
圆C：x2+y2﹣4y+3＝0的圆心为（2，0），半径为1，
由切线l与圆C：x2+y2﹣4y+3＝0相切，可得＝1，
解得k＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
5．（2022•湖南模拟）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．[1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】由题意，得f′（x）＝a﹣﹣cos2x﹣sinx≤0，分离参数a，求得y＝﹣（sinx﹣）2+的最小值，可得实数a的取值范围．
【解答】解：∵是R上的减函数，
∴f′（x）＝a﹣﹣cos2x﹣sinx≤0，
∴a≤﹣sin2x+sinx+1＝﹣（sinx﹣）2+，
当sinx＝﹣1时，y＝﹣（sinx﹣）2+取得最小值﹣1，∴a≤﹣1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
6．（2022•全国一模）设函数f（x）＝﹣（a+1）x+alnx有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）
【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．
【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定函数的单调性，然后结合函数的性质可求．
【解答】解：＝＝，
①当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得最小值f（1）＝﹣a﹣，
因为x→0，x→+∞时，f（x）→+∞，
所以f（1）＝﹣a﹣＜0，
故﹣，
②当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减，（0，a），（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝a处取得最大值f（a）＝＜0，不符合题意；
③当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
④当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（0，1），（a，+∞）上单调递增，
x＝1为函数的极值点f（1）＝﹣a﹣＜0，故函数最多一个零点，不符合题意；，
综上，﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的性质，导数与单调性关系在函数零点判断中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
7．（2022•鹰潭一模）已知函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的实数x都有f'（x）＝2（x﹣a）ex+f（x），且f（0）＝1，若f（x）在（﹣1，1）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣] B．（﹣） C．（0，1） D．（0，1]
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】令g（x）＝，结合已知易得g′（x）＝2（x﹣a），即可写出g（x），进而得到f（x），再由f′（x）、f（0）＝1确定f′（x）关于x的含参数a的解析式，根据题设有h（x）＝x2+2（1﹣a）x+1﹣2a在（﹣1，1）上有零点，进而求a的范围．
【解答】解：令g（x）＝，，则，
∴g（x）＝x2﹣2ax+C，C∈R，故f（x）＝（x2﹣2ax+C）ex，
∴f′（x）＝[x2+2（1﹣a）x+C﹣2a]ex，
又f′（0）＝﹣2a+f（0）＝1﹣2a，
∴C﹣2a＝1﹣2a，即C＝1，
则f′（x）＝[x2+2（1﹣a）x+1﹣2a]ex，
∵f（x）在（﹣1，1）上有极值点，
∴h（x）＝x2+2（1﹣a）x+1﹣2a在（﹣1，1）上有零点，且h（﹣1）＝0，h（1）＝4（1﹣a），
则，即0＜a＜1，
故选：C．
【点评】本题考查了根据极值点求参数范围的问题，考查了导数的应用，属于中档题．
8．（2022•安徽一模）已知函数f（x）＝aex﹣2﹣lnx+21na，若f（x）≥3，恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．[1，+∞） B．[，+∞） C．[e，+∞） D．[2e，+∞）
【考点】利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】f（x）＝aex﹣2﹣lnx+21na，x，a∈（0，+∞），f′（x）＝aex﹣2﹣在x∈（0，+∞）（a＞0）上单调递增，可得存在唯一零点x0＞0，使得a＝，且x0为函数f（x）的极小值点即最小值点．利用f（x0）≥3，即可得出结论．
【解答】解：f（x）＝aex﹣2﹣lnx+21na，x，a∈（0，+∞），
f′（x）＝aex﹣2﹣在x∈（0，+∞）（a＞0）上单调递增，
又x→0时，f′（x）→﹣∞；x→+∞时，f′（x）→+∞．
∴存在唯一零点x0＞0，使得a＝，lna+x0﹣2＝﹣lnx0．
且x0为函数f（x）的极小值点即最小值点．
f（x0）＝a﹣lnx0+2lna＝+3lna+x0﹣2≥3lna≥3，
∴a≥e．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2021•新北区校级三模）若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）令f（x）＝，x∈（0，1），利用导数研究函数的单调性即可判断出AB的正误；
（2）令g（x）＝ex+lnx，x∈（0，1），研究函数的单调性即可判断出CD的正误．
【解答】解：（1）令f（x）＝，x∈（0，1），f′（x）＝＜0，则函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减，
∵0＜x1＜x2＜1，∴f（x1）＞f（x2），因此A正确，B不正确．
（2）令g（x）＝ex+lnx，x∈（0，1），则函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增，
∵0＜x1＜x2＜1，∴f（x1）＜f（x2），因此D正确，C不正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质、构造转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）10．（2022•漳州模拟）已知函数f（x）＝ex，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线y＝f（x）的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f（x）的切线斜率可以是﹣1
C．过点（0，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有1条
D．过点（0，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有2条
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出原函数的导函数，结合指数函数的值域判断A与B；设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，分别把（0，1），（0，0）代入求得切点横坐标，即可判断C与D．
【解答】解：f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，
由f′（x）＝ex＝1，得x＝0，∴曲线y＝f（x）的切线斜率可以是1，故A正确；
∵f′（x）＝ex＞0，故B错误；
设切点坐标为（），则f′（x0）＝，
∴过切点的切线方程为，
把（0，1）代入，可得，∴，
令g（x）＝xex﹣ex+1，得g′（x）＝xex，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）min＝g（0）＝0，
可得只有一根0，即过点（0，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有1条，故C正确；
把（0，1）代入，可得，解得x0＝1．
∴过点（0，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有1条，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）11．（2021•深圳模拟）设函数f（x）＝ex﹣ex和g（x）＝lnx﹣kx2+（1﹣2k）x+（k∈R），其中e是自然对数的底数（e＝2.71828…），则下列结论正确的为（　　）
A．f（x）的图象与x轴相切
B．存在实数k＜0，使得g（x）的图象与x轴相切
C．若k＝，则方程f（x）＝g（x）有唯一实数解
D．若g（x）有两个零点，则k的取值范围为（0，）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求得切点，可判断A；求得g（x）的导数，讨论x＞0，k＜0，结合导数的几何意义，可判断B；令h（x）＝f（x）﹣g（x），求得导数，判断单调性，求得最值，可判断C；求得g（x）的导数，判断k＞0，判断单调性，求得最大值，可判断D．
【解答】解：对于A，f（x）＝ex﹣ex的导数为f′（x）＝ex﹣e，
由f′（x）＝0，可得x＝1，切点为（1，0），切线的方程为y＝0，
则f（x）的图象与x轴相切，故A正确；
g（x）＝lnx﹣kx2+（1﹣2k）x+的导数为g′（x）＝﹣2kx+1﹣2k＝﹣，
由x＞0，k＜0，可得g′（x）＞0恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递增，且x→0，g（x）→﹣∞，
所以g（x）的图像与x轴不相切，故B错误；
对于C，因为k＝，所以g（x）＝lnx﹣x2+，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣ex﹣lnx+x2﹣，x＞0，
h′（x）＝ex﹣e﹣+x，可得h′（x）在（0，+∞）递增，且h′（1）＝0，所以y＝h′（x）与x轴只有一个交点，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增，所以h（x）的最小值为h（1）＝0，即y＝h（x）与x轴只有一个交点，故C正确；
对于D，g′（x）＝[1﹣2kx2+（1﹣2k）x]＝（x+1）（1﹣2kx），x＞0，令g′（x）＝0，由题意可得x＝，k＞0，
当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）的最大值为g（）＝ln+﹣＞0，
令A（k）＝ln+﹣＞0，A′（k）＝﹣﹣＜0，
可得A（k）递减，又A（）＝ln1+﹣＝0，当k∈（0，）时，A（k）＞0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及函数和方程的关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）12．（2021•顺德区模拟）已知a＞0，b＞0且ea+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（　　）
A．a＞b B．ea＞b C．ea+b＞2 D．a+lnb＞0
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】综合题；探究型；函数思想；分析法；导数的综合应用；数据分析．
【分析】先用特殊值法，排除A、D选项，其次构造函数f（x）＝ex﹣x，判断其单调性，即可求解B选项，结合导数证明对任意的 且x1≠x2，有，再结合ea+lnb＞a+b，即可求解．
【解答】解：取a＝1，b＝1，e1+ln1＝e，a+b＝2，
满足a＞0，b＞0且ea+lnb＞a+b，故A不一定成立，
取a＝1，b＝，e1+ln＝e﹣1，a+b＝1+，
满足a＞0，b＞0且ea+lnb＞a+b，但a+lnb＝1+ln＝0，故D不一定成立，
令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
∴f（x）极小值＝f（x）最小值＝f（0）＝1，
∵a＞0，b＞0且ea+lnb＞a+b，
∴ea﹣a＞b﹣lnb⇔ea﹣a＞elnb﹣lnb⇔f（a）＞f（lnb），
当a＞lnb＞0，∴ea＞elnb＝b＞e0＝1，
∴ea＞b，
当a＞0＞lnb，此时0＜b＜1，则ea＞b，故B选项正确，
先证明对任意的 且x1≠x2，，
不妨设x2＜x1，即证，
令，即证，
设M（t）＝，M'（t）＝，
故函数M（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，M（t）＞M（1）＝0，
∴对任意的 且x1≠x2，，
∵ea+lnb＞a+b，
∴ea﹣b＞lnea﹣lnb，
∴，
∴ea+b＞2，故C选项正确．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及函数极小值、最小值的求解，需要学生较强的数学综合知识，属于难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•海南模拟）设f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣2）＝﹣3，且对任意x∈R都有f'（x）＜2，则f（2）＝　3　，使得f（ex）＜2ex﹣1成立的x的取值范围是　（ln2，+∞）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；逻辑推理．
【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）＝﹣f（﹣2）＝3，设g（x）＝f（x）﹣2x，结合函数的单调性得到g（ex）＜g（2），得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以f（2）＝﹣f（﹣2）＝3．
设g（x）＝f（x）﹣2x，则g（2）＝f（2）﹣4＝﹣1，g'（x）＝f'（x）﹣2＜0，
所以g（x）在R上单调递减．
由f（ex）＜2ex﹣1得f（ex）﹣2ex＜﹣1，
即g（ex）＜g（2），
所以ex＞2，
得x＞ln2．
故答案为：3，（ln2，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．
14．（2021•黔江区校级模拟）函数f（x）＝x2﹣axlnx在上不单调，则实数a的取值范围是　　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出函数的导数，问题转化为方程a＝在上有根，令g（x）＝，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：f′（x）＝2x﹣a（lnx+1），
若函数f（x）＝x2﹣axlnx在上不单调，
则方程f′（x）＝0在上有根
即方程a＝在上有根且方程的根是函数f′（x）的变号零点，
令g（x）＝，则g′（x）＝，
x∈（，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
又g（1）＝2，g（）＝，g（2）＝，由g（2）﹣g（）＝﹣＞0，
得g（x）∈（2，），
故a∈（2，），
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
15．（2020•毕节市模拟）已知函数f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）ex，则f（x）的单调递减区间为　（﹣1，0]　．
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【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的综合应用．
【分析】先求导，再令x＝1，求出函数的解析式，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出．
【解答】解：∵f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）ex，
∴f′（x）＝1﹣2f'（1）•﹣f（0）ex，
令x＝1可得f′（1）＝1﹣2f'（1）•﹣f（0）e，
由f（0）＝﹣f（0），
∴f（0）＝0，
∴f′（1）＝1﹣f'（1），
∴f′（1）＝，
∴f（x）＝x﹣ln（x+1），x＞﹣1，
∴f′（x）＝1﹣≤0，
解得﹣1＜x≤0，
故答案为：（﹣1，0]．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，属于基础题．
16．（2022•安徽一模）过坐标原点且与曲线y＝﹣xlnx﹣1相切的直线方程为 　y＝﹣x　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】设出切点坐标，求解切线的斜率，列出关系式，转化求解切线的斜率，求解切线方程．
【解答】解：设切点坐标（m，n），则n＝﹣mlnm﹣1，
y′＝﹣lnx﹣1，所以＝﹣lnm﹣1，解得m＝1，
所以切线的斜率为：﹣1，
切线方程为：y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x．
【点评】本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2022•赣州一模）设函数．
（1）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线l与直线x﹣2y+1＝0互相垂直，求l的方程；
（2）若f（x）＞0对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出求切线斜率，再由垂直关系得出直线斜率建立方程求出a，由点斜式求切线方程；
（2）求出函数导数，分a≤2，a＞2两种情况分析，a≤2时利用函数导数分析函数单调性求出最小值，建立不等式求解，当a＞2时，分析函数在（1，x2）上不满足条件即可得解．
【解答】解：（1）f′（x）＝﹣，
由题意知，f（1）＝1﹣＝﹣2，解得a＝6，
又f（1）＝0，
故在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2＝0．
（2）当x＞1时，f′（x）＝﹣＝，
①若a≤2时，x2+2（1﹣a）x+1≥x2﹣2x+1＞0，
从而f′（x）＞0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，故f（x）＞0．
②若a＞2时，令f′（x）＝0，则x1＝a﹣1﹣，x2＝a﹣1+＞1，
且x1x2＝1，x1＜1，故当x∈（1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，x2）上单调递减，
故当x∈（1，x2）时，f（x）＜f（1）＝0．
综上所述：a的取值范围为（﹣∞，2]．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
18．（2022•开封二模）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a＞0）．
（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若对任意的x＞0，有f（x）≤b+a（b∈R），证明：b≥﹣2a．
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【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）当a＝2时，f（x）＝lnx﹣2x，求其导函数，可得f′（1），再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案；
（2）任意的x＞0，f（x）≤b+a，等价于b≥lnx﹣ax﹣a，令g（x）＝lnx﹣ax﹣a，x＞0，利用导数去球器最大值，得b≥﹣lna﹣a﹣1，则b+2a≥﹣lna+a﹣1，令h（a）＝﹣lna+a﹣1，a＞0，再由导数去求其最小值，即可得到b+2a≥h（a）≥0，即b≥﹣2a．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝lnx﹣2x，f′（x）＝，
则f′（1）＝﹣1，
又f（1）＝﹣2，
∴f（x）在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0；
证明：（2）任意的x＞0，f（x）≤b+a，等价于b≥lnx﹣ax﹣a，
令g（x）＝lnx﹣ax﹣a，x＞0，
得g′（x）＝﹣a，而a＞0，则当0＜x＜时，g′（x）＞0，
当x＞时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴，于是得b≥﹣lna﹣a﹣1，则b+2a≥﹣lna+a﹣1，
令h（a）＝﹣lna+a﹣1，a＞0，
h′（a）＝，则当0＜a＜1时，h′（a）＜0，当a＞1时，h′（a）＞0，
因此，h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴h（a）min＝h（1）＝0，于是b+2a≥h（a）≥0，即b≥﹣2a．
∴b≥﹣2a．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数不等式的证明，训练了利用导数研究函数的单调性与最值，是中档题．
19．（2021•金安区校级模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．
（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；
（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：x1x2＞．
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【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；数学抽象；数学运算．
【分析】（1）利用导数求出曲线在点（1，f（1））处的切线方程，再由直线系方程证明切线l恒过定点；
（2）x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，可得，即，再由合比与分比定理变形，同时令t＝（t＞2），可得lnx1x2+2＝＝，构造函数g（t）＝，利用导数证明g（t）＞g（2）＝3ln2，整理即可证得结论．
【解答】证明：（1）f′（x）＝xlnx﹣ax2+x＝lnx+1﹣2ax+1＝lnx﹣2ax+2，
f′（1）＝2﹣2a，又f（1）＝1﹣a，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（1﹣a）＝（2﹣2a）（x﹣1），
即y＝2（1﹣a）（x﹣），当x＝时，y＝0，
故直线l过定点（，0）；
（2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，
∴，可得，
∴＝＝，
令t＝（t＞2），∴lnx1x2+2＝＝，
构造函数g（t）＝，g′（t）＝，
令h（t）＝t﹣﹣2lnt，则h′（t）＝＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，
而h（2）＝2﹣﹣2ln2＝﹣2ln2＞0，∴g′（t）＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（2）＝3ln2，可得ln（x1x2）+2＞3ln2，则ln（x1x2）＞ln，
即x1x2＞．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑思维能力及运算求解能力，属难题．
20．（2022•四川模拟）已知函数，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l．
（1）求l的方程；
（2）是否存在实数a，使得l与函数f（x）的图象有2个不同公共点？若存在，求a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
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【专题】导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）对函数进行求导，找到切线斜率即可；
（2）联立切线与函数f（x），构造函数，将两个曲线的交点转为函数g（t）的零点个数，因为观察到函数g（t）有一个零点为t＝1，故转化为g（t）还存在另一个零点从而讨论g（t）的单调性从而确定是否满足题意．
【解答】解：，
将x＝1代入得：，
将x＝1代入f（x）得：f（1）＝﹣1，
则切线方程为：，
化简可得；；
（2）联立切线与f（x）可得：，
观察可得x＝1为该方程的根，
故仅需探究方程在（0，+∞）是否存在另一解即可，
令（t≥0），
则原方程转为：，
令，
，
①当1﹣2a≤0时，即时，
令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，
故g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故g（t）＜g（1）＝0，
则不存在第二个实数解，不满足题意，
②当1﹣2a＞0时，
，
（Ⅰ）若，即a≤0时，
则0＜t＜1时，g′（t）＜0，则g（t）单调递减，
若t＞1，g′（t）＞0，则g（t）单调递增，
故g（t）＞g（1）＝0，
则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，
（Ⅱ）若，即，
此时g′（t）＞0，g（t）单调递增，
则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，
（Ⅲ）若，即，
则，g（t）单调递增，
，g（t）单调递减，t＞1，g（t）单调递增，
又g（1）＝0，可知，
且t→0，g（t）→﹣∞，
故存在使得g（t0）＝0，
此时，方程存在两个实数解，满足题意，
（Ⅳ）若，即，
则0＜t＜1，g（t）单调递增，
g（t）单调递减，，g（t）单调递增，
又g（1）＝0，可知，
且t→+∞，g（t）→+∞，
故存在，使得g（t0）＝0，
此时，方程存在两个实数解，满足题意，
综上所述：方程存在两个实数解时，
其取值范围为：．
【点评】本题主要考查导函数与切线结合，及将两个函数交点转化为一个方程的根的形式，从而进行讨论单调性进行判断．

考点卡片
1．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
2．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．

2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．

【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．

题型二：求切线方程
典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．

【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
3．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
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