2022年 高三数学考前20天终极冲刺之不等式专题训练（含答案解析）

这是一份2022年 高三数学考前20天终极冲刺之不等式专题训练（含答案解析），共36页。
2022年高考数学考前20天终极冲刺之不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2022春•广州期中）不等式log2（3x+1）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．x＜0 C． D．
2．（2021秋•三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　）
A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}
3．（2022春•河南月考）已知关于x的不等式（2a+3m）x2﹣（b﹣3m）x﹣1≥0（a＞0，b＞0）的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞），则下列结论错误的是（　　）
A．2a+b＝1 B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
4．（2022•东城区一模）已知a，b∈R，则“a2+b2≤2”是“﹣1≤ab≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022春•洛阳月考）已知正数x，y满足，则xy的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022•平谷区模拟）已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣|x|，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．∅
7．（2022春•铜鼓县校级月考）已知，，，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
8．（2022•泸州模拟）已知a＞0，b＞0，且成立，则下列不等式不可能成立的的是（　　）
A．ab＜b＜1 B．1＜b＜ab C．b＜ab＜1 D．ab＜1＜b
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022春•鹤峰县月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣4＜a﹣b＜2
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若b＜a＜0，m＜0，则
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
（多选）10．（2021秋•金华期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（　　）
A．a＜0
B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6}
C．8a+4b+3c＜0
D．cx2+bx+a＜0的解集为
（多选）11．（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式t（x+1）（x﹣2）﹣1＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　）
A．x1+x2﹣1＝0 B．﹣1＜x1＜x2＜2 C．|x1﹣x2|＞3 D．x1x2+2＞0
（多选）12．（2021秋•扬州期末）下列结论正确的是（　　）
A．当x∈（0，π），x＞sinx B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2022•重庆模拟）关于x的不等式（x﹣1）9999﹣29999•x9999≤x+1解集为 　 　．
14．（2022•邯郸一模）不等式10x﹣6x﹣3x≥1的解集为 　 　．
15．（2022•贵州一模）如图所示的平面区域（阴影部分）由一个半圆和两个全等的直角三角形组成（含边界），若点P（x，y）是该区域内任意一点，z＝x﹣y，则z的最小值为 　 　；z的最大值为 　 　．

16．（2022春•浙江月考）已知正实数a，b，c，a+b＝3，则的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2021•浦东新区校级三模）已知．
（1）解不等式：f（x）≤﹣1；
（2）若y＝f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为﹣2，求实数a的值．
18．（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x＝，y＝，求证：
（1）xy≥ab；
（2）x+y≤a+b．
19．（2021•南明区校级模拟）若a＞0，b＞0，且．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b＝5？并说明理由．
20．（2022•贵州模拟）已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．
（1）求m；
（2）∀x∈D，求证：f（x）≤g（a，b，c）．

2022年高考数学考前20天终极冲刺之不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022春•广州期中）不等式log2（3x+1）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．x＜0 C． D．
【考点】指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出log2（3x+1）＜1⇔﹣＜x＜，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵log2（3x+1）＜1，
∴0＜3x+1＜2，∴﹣＜x＜，
∵（0，）⫋（﹣，），
∴不等式log2（3x+1）＜1成立的一个充分不必要条件是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对数不等式的解法，属于中档题．
2．（2021秋•三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　）
A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），根据二次函数与对应的方程和不等式的关系，即可求出不等式的解集．
【解答】解：设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），
因为二次函数对应的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，
所以二次函数图象开口向上，且与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（2，0），
所以关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与对应的方程和不等式的关系应用问题，是基础题．
3．（2022春•河南月考）已知关于x的不等式（2a+3m）x2﹣（b﹣3m）x﹣1≥0（a＞0，b＞0）的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞），则下列结论错误的是（　　）
A．2a+b＝1 B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得a，b，的关系，然后结合基本不等式分别检验各选项．
【解答】解：因为关于x的不等式（2a+3m）x2﹣（b﹣3m）x﹣1≥0（a＞0，b＞0）的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞），
所以，
所以2a+3m＝2，b﹣3m＝﹣1，
所以2a+b＝1，A正确；
因为a＞0，b＞0，所以1＝2a+b，当且仅当2a＝b＝时取等号，
解得ab，B正确；
＝＝4+＝8，当且仅当b＝2a＝时取等号，C错误；
＝＝3+，当且仅当且2a+b＝1，即a＝1﹣，b＝时取等号，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程根的关系，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．
4．（2022•东城区一模）已知a，b∈R，则“a2+b2≤2”是“﹣1≤ab≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】不等关系与不等式；充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】由2丨ab丨≤a2+b2≤2可得充分性，反过来取特值a＝3，否定必要性．
【解答】解：∵2丨ab丨≤a2+b2，∴由a2+b2≤2可推得，
2丨ab丨≤2，∴可得丨ab丨≤1，∴可推得﹣1≤ab≤1，
反过来当﹣1≤ab≤1时，取a＝3，，则不能推得a2+b2≤2，
∴a2+b2≤2是﹣1≤ab≤1的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充分与必要条件以及重要不等式，属简单题．
5．（2022春•洛阳月考）已知正数x，y满足，则xy的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式；数学运算．
【分析】根据题意，利用条件计算xy，再利用换元法，结合基本不等式即可求出xy的最小值．
【解答】解：因为，
所以xy＝•[+]＝（+），
令x+2y＝m，m＞0，3x+2y＝n，n＞0，x＝，y＝，
xy＝（+）＝[+]＝（+﹣）≥（2﹣）＝（6﹣）＝，
当且仅当＝，即n＝2m，即x＝，y＝时等号成立，
所以xy的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了转化思想，是难题．
6．（2022•平谷区模拟）已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣|x|，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．∅
【考点】指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】不等式，即log2（x+1）＞|x|．作出函数y＝log2（x+1）和y＝|x|的图象，数形结合求得它的解集．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2（x+1）﹣|x|，
则不等式f（x）＞0，即log2（x+1）＞|x|．
作出函数y＝log2（x+1）和y＝|x|的图象，
它们的图象都经过（0，0）和（1，1）点，
故不等式的解集为（0，1），
故选：B．

【点评】本题主要考查其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
7．（2022春•铜鼓县校级月考）已知，，，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】先通过比较和1的大小，得到a＞1，b＜1，c＞1，再构造函数，利用导数和函数单调性的关系判断a，c的大小，问题得以解决．
【解答】解：a＝＞e0＝1，b＝（）e＝0.1＜0.11＝0.1，c＝＝＞1，
令f（x）＝ex（x2﹣2x+2）﹣2，x＞0，
∴f′（x）＝ex（x2﹣2x+2+2x﹣2）＝x2ex＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（0）＝2﹣2＞0，
∴f（）＞0，
∴（2.1﹣2）﹣2＞0
∴e＞，
即a＞c，
∴a＞c＞b．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的大小比较，关键是构造函数，属于中档题．
8．（2022•泸州模拟）已知a＞0，b＞0，且成立，则下列不等式不可能成立的的是（　　）
A．ab＜b＜1 B．1＜b＜ab C．b＜ab＜1 D．ab＜1＜b
【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】先得到⇔f（a）＜f（），再构造函数f（x）＝x﹣lnx，判断单调性，即可求解．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且成立，
∴a﹣lna＜+lnb＝﹣ln，
设f（x）＝x﹣lnx，则⇔f（a）＜f（），
∵f′（x）＝1﹣＝，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
A：ab＜b＜1⇔a＜1＜，即a∈（0，1），∈（1，+∞），∴f（a）＜f（）可能成立，
B：1＜b＜ab⇔＜1＜a，即∈（0，1），a∈（1，+∞），∴f（a）＜f（）可能成立，
C：b＜ab＜1⇔1＜a＜，即，a∈（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（a）＜f（）成立，
D：ab＜1＜b⇔a＜＜1，即，a∈（0，1），∵f（x）在（0，1）上单调递减，∴f（a）＞f（），∴D不成立，
故选：D．
【点评】本题考查了构造函数的应用，利用导数判断函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022春•鹤峰县月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣4＜a﹣b＜2
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若b＜a＜0，m＜0，则
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【考点】基本不等式及其应用；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【分析】根据不等式性质进行运算可判断AC；取a、b、c的特值可判断BD．
【解答】解：因为1＜b＜2，所以﹣2＜﹣b＜﹣1，又因为﹣2＜a＜3，所以﹣4＜a﹣b＜2，所以A对；
因为ac2＞bc2，所以（ac2）÷c2＞（bc2）÷c2，即a＞b，所以B对；
因为b＜a＜0，所以＜＜0，又因为m＜0，所以，所以C对；
当a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b，c＞d，不满足ac＞bd，所以D错．
故选：ABC．
【点评】本题考查不等式基本性质应用，考查数学运算能力与推理能力，属于基础题．
（多选）10．（2021秋•金华期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（　　）
A．a＜0
B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6}
C．8a+4b+3c＜0
D．cx2+bx+a＜0的解集为
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由不等式与方程的关系得，从而可得b＝﹣a，c＝﹣6a，且a＜0，再依次对四个选项判断即可．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，
∴，
即b＝﹣a，c＝﹣6a，
故选项A正确；
ax+c＞0可化为ax﹣6a＞0，
即x﹣6＜0，
故ax+c＞0的解集为{x|x＜6}，故选项B错误；
8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，故选项C错误；
cx2+bx+a＜0可化为﹣6ax2﹣ax+a＜0，
即6x2+x﹣1＜0，
故不等式的解集为{x|﹣＜x＜}，
故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了二次不等式及二次方程关系及基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）11．（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式t（x+1）（x﹣2）﹣1＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　）
A．x1+x2﹣1＝0 B．﹣1＜x1＜x2＜2 C．|x1﹣x2|＞3 D．x1x2+2＞0
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系式，结合二次函数的图象与性质，即可得出结论．
【解答】解：关于x的不等式t（x+1）（x﹣2）﹣1＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，
所以t＜0，且x1，x2是一元二次方程tx2﹣tx﹣1﹣2t＝0的解，
所以x1+x2＝1，x1x2＝＝﹣﹣2＞﹣2，
所以x1+x2﹣1＝0，x1x2+2＞0，选项AD正确．
又因为|x1﹣x2|＝＝＝＜3，所以选项C错误．
由方程t（x+1）（x﹣2）＝0的解是﹣1和2，得出不等式t（x+1）（x﹣2）﹣1＞0的解集为（x1，x2），
此时﹣1＜x1＜x2＜2，选项B正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了方程思想，是中档题．
（多选）12．（2021秋•扬州期末）下列结论正确的是（　　）
A．当x∈（0，π），x＞sinx B．
C． D．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】先构造函数，再求出导数并判断单调性即可判断ABC，利用举实例判断D．
【解答】解：对于A，令y＝x﹣sinx，则y′＝1﹣cosx≥0，则函数y＝x﹣sinx在R上递增，则当x∈（0，π）时，x﹣sinx＞0﹣0＝0，则x＞sinx恒成立．∴A正确，
对于B，令y＝1﹣﹣lnx，则y′＝﹣＝，则函数y在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴ymax＝1﹣1﹣0＝0，∴1﹣﹣lnx≤0，∴1﹣≤lnx，∴B错误，
对于C，令y＝（x+1）ex，则y′＝（x+2）ex，则函数y在（﹣2，+∞）上递增，在（﹣∞，﹣2）上递减，∴ymin＝（﹣2+1）e﹣2＝﹣，∴（x+2）ex≥﹣，∴C正确，
对于D，当x＝﹣1时，则x2＝﹣，∴D错误，
故选：AC．
【点评】本题考查函数的单调性，其中构造函数是关键，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2022•重庆模拟）关于x的不等式（x﹣1）9999﹣29999•x9999≤x+1解集为 　[﹣1，+∞）　．
【考点】指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理．
【分析】原不等式可化为（x﹣1）9999﹣（2x）9999≤x+1，然后构造函数y＝x9999，判断该函数的单调性，讨论x﹣1与2x的大小关系求解．
【解答】解：原不等式可化为：（x﹣1）9999﹣（2x）9999≤x+1，因为y＝x9999在R上单调递增，
当x﹣1＞2x，即x＜﹣1时，（x﹣1）9999﹣（2x）9999＞0＞x+1，原不等式不成立；
当x﹣1≤2x，即x≥﹣1时，（x﹣1）9999﹣（2x）9999≤0≤x+1，原不等式恒成立；
故原不等式的解为[﹣1，+∞）．
故答案为：[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查利用幂函数的单调性求解不等式，属于中档题．
14．（2022•邯郸一模）不等式10x﹣6x﹣3x≥1的解集为 　[1，+∞）　．
【考点】指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】将原不等式变为，设，然后利用函数的单调性解不等式．
【解答】解：由10x﹣6x﹣3x≥1，可得，
令，
因为均为R上单调递减函数，
则f（x）在R上单调递减，且f（1）＝1，
∴f（x）≤f（1），
∴x≥1，
故不等式10x﹣6x﹣3x≥1的解集为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性，解不等式，属于中档题．
15．（2022•贵州一模）如图所示的平面区域（阴影部分）由一个半圆和两个全等的直角三角形组成（含边界），若点P（x，y）是该区域内任意一点，z＝x﹣y，则z的最小值为 　﹣4　；z的最大值为 　2　．

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由z＝x﹣y，知y＝x﹣z，原问题转化为直线y＝x﹣z在y轴上的截距的最大值和最小值，再分别由直线y＝x﹣z经过点（﹣2，2）和直线y＝x﹣z与圆x2+y2＝4在第四象限相切，即可得解．
【解答】解：由z＝x﹣y，知y＝x﹣z，原问题转化为直线y＝x﹣z在y轴上的截距的最大值和最小值，
当直线y＝x﹣z经过点（﹣2，2）时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距取得最大值，
此时2＝﹣2﹣z，即z＝﹣4，
所以z的最小值为﹣4；
当直线y＝x﹣z与圆x2+y2＝4在第四象限相切时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距取得最小值，
此时有＝2，且z＞0，所以z＝±2（舍负），
所以z的最大值为2．
故答案为：﹣4；2．
【点评】本题考查线性规划，理解目标函数的几何意义，直线与圆相切是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（2022春•浙江月考）已知正实数a，b，c，a+b＝3，则的最小值为 　　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；构造法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题意，++＝c（+）+＝c[]+，结合a+b＝3可得原式＝c（++）+，两次运用基本不等式求解即可．
【解答】解：由题意，++＝c（+）+＝c[]+，又a+b＝3，
所以原式＝c（++）+≥c（2+）+＝2c+，
当且仅当＝，即a＝1，b＝2时等号成立，
又2c+＝2（c+1）+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，
当且仅当2（c+1）＝，即c＝﹣1时等号成立，
所以，++的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查基本不等式的运用，解题的关键在于多次使用基本不等式，注意不可忽略每次取等号的条件需是相同的，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2021•浦东新区校级三模）已知．
（1）解不等式：f（x）≤﹣1；
（2）若y＝f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为﹣2，求实数a的值．
【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分类法；不等式；数学运算．
【分析】（1）根据log（x2﹣6x+10）≤﹣1，可得x2﹣6x+10≥2，然后求出不等式的解集即可；
（2）利用复合函数的性质，分a≥3，a＜2和2≤a＜3三种情况，结合条件求出a的值．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）的定义域为R．
由log（x2﹣6x+10）≤﹣1，得log（x2﹣6x+10）≤log2，
所以x2﹣6x+10≥2，则x2﹣6x+8≥0，解得x≥4或x≤2．
所以不等式f（x）≤﹣1的解集为（﹣∞，2]∪[4，+∞）．
（2）令t＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，
因为y＝f（x）在区间[a，a+1]上的最小值﹣2，
所以t＝（x﹣3）2+1，在x∈[a，a+1]上的最大值为4，
又当a≥3时，t＝（x﹣3）2+1，则；
当a+1＜3，即a＜2时，t＝（x﹣3）2+1，则．
当a＜3≤a+1，即2≤a＜3时，显然t的最大值不能取4．
综上，或．
【点评】本题考查了对数不等式的解法和利用函数的最值求参数的值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
18．（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x＝，y＝，求证：
（1）xy≥ab；
（2）x+y≤a+b．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式．
【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．
【解答】证明：（1）∵a，b∈R+，x＝，y＝，
∴xy＝≥＝ab，当且仅当a＝b时取等号．
（2）∵a，b∈R+，x+y＝+，
则（a+b）2﹣（x+y）2＝（a+b）2﹣＝﹣，
而（a+b）4﹣（a﹣b）4＝8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）＝（a﹣b）4，
∴（a+b）2≥，
∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0，
∴a+b≥x+y．
【点评】本题考查了基本不等式的运算性质、平方作差方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（2021•南明区校级模拟）若a＞0，b＞0，且．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b＝5？并说明理由．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．
（2）根据ab≥2及基本不等式求得2a+3b＞4，从而可得不存在a，b，使得2a+3b＝5．
【解答】解：（1）由，得ab≥2，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立；
故a3+b3的最小值为4，
（2）由（1）知，，
由于，所以不存在a，b，使得2a+3b＝5．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．
20．（2022•贵州模拟）已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．
（1）求m；
（2）∀x∈D，求证：f（x）≤g（a，b，c）．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；不等式；数学运算．
【分析】（1）先求出定义域，再由柯西不等式求最大值即可；
（2）令b+c＝x，c+a＝y，a+b＝z，化简整理得，借助基本不等式求出g（a，b，c）的最小值，等于f（x）的最大值，即得证．
【解答】解：（1）要使有意义得，
解得1≤x≤3，所以D＝{x|1≤x≤3}，由柯西不等式，
得，当且仅当，即x＝2∈D，
所以，当x＝2时，
证明：（2）令b+c＝x，c+a＝y，a+b＝z，
因为a，b，c是正实数，所以x，y，z是正实数，
则，
所以
＝

当且仅当x＝y＝z时取等号，此时a＝b＝c，
所以，
故f（x）≤g（a，b，c）．
【点评】本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
5．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．

【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a+b的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B

方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（　　）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指数函数的单调性可知，＞，
由幂函数的单调性可知，＞，
则＞＞，
故＜＜，
故选：B．
6．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；

＜0⇔f（x）•g（x）＜0；

≥0⇔；

≤0⇔．
7．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S＝＝．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
8．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【例题解析】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），
∴当a＞1时，有，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．
【考点点评】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．
11．不等式的基本性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
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