四川省大数据精准教学联盟2021-2022学年高三下学期第二次统一监测数学（理）试题

四川省大数据精准教学联盟2021-2022学年高三下学期第二次统一监测数学（理）试题

第I卷（选择题）

1．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．已知，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知命题，那么为（       ）

A． B． C． D．

4．已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（       ）

A．2 B．-2 C．2或-2 D．4

5．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数（       ）

A．18 B．25 C．33 D．42

6．已知是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：

①若，则；②若，则；

③若，则﹔④若，则．

其中真命题的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（       ）

A． B． C． D．

8．函数在上的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

9．已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10．某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为（       ）

A．1 B． C．2 D．

11．已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（       ）

A．4 B． C．5 D．

12．对任意，存在，使得，则的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．e

第II卷（非选择题）

13．已知向量的夹角为，，，则_______．

14．已知为数列的前n项和，且，，则_______．

15．已知函数，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

①的最小正周期为；②是奇函数；

③的值域为；④在上单调递增．

16．设双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，以AB为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若为等腰三角形，则直线的倾斜角的大小为________．

17．为了解某地区经济发展情况，现对2012年~2021年该地区生产总值y（单位：百亿元）进行了统计，制成如下散点图，其中年份代码x的值1~10分别对应2012年至2021年．

(1)建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)若2021年该地区生产总值为2150亿元，在此基础上根据（1）中的模型预测，2022年该地区生产总值能否实现的增长目标？

参考数据：，，，

参考公式：对于一组数据，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，﹐__________？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．

(1)确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；

(2)在第（1）题的条件下，若，，求二面角的余弦值．

20．在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

(1)若时，过点作曲线的切线l，求l的方程；

(2)若函数在处取极小值，求a的取值范围．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．

(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；

(2)若N为曲线C上的动点，求的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．

23．己知．求证：

(1)；

(2)．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先求出，然后可得答案.

【详解】

由题得，则．

故选：B

2．D

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算可得答案.

【详解】

由已知得，所以．

故选：D

3．A

【解析】

【分析】

根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】

由已知命题，则是．

故选：A．

4．C

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项公式，令的指数为4可求得，再根据系数为40求解即可

【详解】

由，令，解得，所以项的系数为，解得．

故选：C

5．B

【解析】

【分析】

按照程序框图的流程图进行计算，得到答案.

【详解】

输出

故选：B

6．B

【解析】

【分析】

①利用直线与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理判断；③利用面面平行的性质定理和线面垂直的定义判断；④利用直线与直线的位置关系判断.

【详解】

①，若，则或，故错误；

②若，则，又，则，故正确；

③若，则，又，则，故正确；

④若，则或l与m异面，故错误；

故选：B

7．C

【解析】

【分析】

分别过作轴与准线的垂线，再根据结合抛物线的性质计算即可

【详解】

如图，过P作PH垂直轴于H，过P作PB垂直准线于B，设，则因为，结合抛物线的基本性质有，，.所以

故选：C

8．D

【解析】

【分析】

由可得为奇函数，排除A，B；当时，，代入特殊值即可判断结果．

【详解】

由知为奇函数，排除A，B，

当时，因为，则，所以排除C，

故选：D．

9．A

【解析】

【分析】

根据条件求出，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】

设的公差d，由有，

解得，所以，

则，当且仅当时等号成立．

故选：A

10．C

【解析】

【分析】

记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1，2，3，求出取每个值的概率后，根据均值公式计算可得结果.

【详解】

记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1，2，3，

则，

，

则X均值．

故选：C.

11．D

【解析】

【分析】

设是的外心，即可得到，再根据球的表面积求出球的半径，即可得，当且仅当、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，再由勾股定理计算可得.

【详解】

在中，根据正弦定理，可得，所以．如图，

设为的外心，则为AC的中点，且，由于球O的表面积为，所以球O的半径，

当，，三点共线且平面CAB和点S位于点O的异侧时，

三棱锥的体积最大．此时

故选：D

12．C

【解析】

【分析】

令，把用表示，然后引入新函数，利用导数求得函数的最小值即得．

【详解】

由题，令，则所以，令

，则，令，

则，则即在时单调递增，

又，则时时，

所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．

故选：C．

13．

【解析】

【分析】

根据条件求出的坐标，然后可算出答案.

【详解】

由已知可得，

所以

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

由条件可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，然后可算出答案.

【详解】

由得，且，解得，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．

故答案为：

15．①③④

【解析】

【分析】

先对函数解析式化简，再对①②③④一一判断：

对于①：利用周期性的定义进行判断；

对于②：取特殊值：由，否定结论；

对于③：直接求出的值域，即可判断；

对于④：利用复合函数单调性法则进行判断．

【详解】

由，定义域为R.

对于①：因为的最小正周期为，即恒成立，

所以，

所以的最小正周期为.故①正确；

对于②：取特殊值：，而，所以，故不是奇函数.故②错误；

对于③：令，则.所以在单增，在单减，所以，即的值域为.故③正确；

对于④：令，则在上单调递增，且.

而在上单调递增，所以在上单调递增．故④正确.

所以命题②不正确，命题①③④正确．

故答案为：①③④.

16．##

【解析】

【分析】

由题意求得点P的坐标，再根据为等腰三角形，得到，从而得到a，b，c的关系，再利用斜率公式求解.

【详解】

解：以AB为直径的圆的方程为，

双曲线过第一象限的渐近线方程为．

由，得．

由为等腰三角形，得点P在线段的中垂线上，即．

由，得，

即，得，

所以．而，

则，

故直线倾斜角为，

故答案为：．

17．(1)；

(2)2022年该地区生产总值能实现5%的增长目标．

【解析】

【分析】

（1）利用最小二乘法即得；

（2）利用线性回归方程可得2022年该地区生产总值的估计值，进而可得增长率估计值，即得.

(1)

由题可得，

设线性回归方程，

则，

，

所以，y关于x的线性回归方程；

(2)

由，

2022年该地区生产总值的估计值为（百亿元），

由题，2021年该地区生产总值为21.5 百亿元，

根据该回归模型，增长率估计值为 ，

所以，2022年该地区生产总值能实现5%的增长目标．

18．答案见详解．

【解析】

【分析】

若选①由面积公式先求得，根据基本不等式求得，从而求得，故不存在；若选②利用余弦定理和面积公式结合角的范围即可求出角，从而求解各边长，即可判断的形状；若选③利用面积公式先求解角，再用余弦定理求解各边长，即可判断的形状．

【详解】

若选①，这样的不存在．理由如下：

由已知得，所以，

则．又，所以．

又由

所以与正弦函数的有界性矛盾．

故这样的不存在．

若选②，这样的存在．

由，得，

由余弦定理得，

所以．（1）

又，即，（2）

由（1），（2）消去ac得，

所以，即，

因为a，b，c成等差数列，b不是最大边，所以

所以，即．则，解得，

此时为等边三角形．

若选③，这样的存在．

由题意有，

则，所以，

因为a，b，c成等差数列，b不是最大边，所以

所以，

由余弦定理得

解得，所以，又，解得．此时为等边三角形．

19．(1)点G为的重心；证明见解析

(2)0

【解析】

【分析】

（1）取AB中点D，连结CD交AF于G，分别由四边形和四边形是平行四边形，得到，．再利用面面平行的判定定理证明；

（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，然后由求解.

(1)

证明：如图所示：

取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．

证明：连结DE．

因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，

所以，且，则四边形是平行四边形，

故．

又平面，平面

所以平面．

因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，

则且，四边形是平行四边形，

所以．又平面，平面，

所以平面．

又平面，平面，，

所以平面平面．

(2)

以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则．

设，由（1）知，，即．

解得，即．

所以．

设平面的一个法向量，

由，得．

令，则，即．

设平面的一个法向量，

由，得．

令，则，即．

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为0．

20．(1)

(2)存在；

【解析】

【分析】

（1）设，由向量的数乘运算，用表示出，由可得轨迹方程；

（2）假设存在满足题意的直线，设．当直线l的斜率存在时，设其方程为．代入椭圆方程，应用韦达定理得，计算并代入，分析它是与无关的常数，由此得出值，再检验这个值对斜率不存在的直线也适用，由此得结论．

(1)

设

由，得，即

而，即．所以，即．

(2)

假设存在满足题意的直线，设．

当直线l的斜率存在时，设其方程为．

由，消去y，得．

则．

所以，，

则

当且仅当，即时，

当直线l的斜率不存在时，，若

则．

综上，存在实数，使得为定值为5．

21．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，然后设切点的坐标为，然后得到斜率并写出切线方程，再将点（0,0）代入切线方程解出，最后得到切线方程；

（2）先求出导函数，且发现，然后设并求出导函数，进而分，，和四种情况进行讨论得到的单调性，进一步得到的单调性，讨论出函数在处的极值，最后得到答案.

(1)

时，．

设切点，则，

故切线l的方程为，

由于切线l过点，则，

即，解得，故切线方程为．

(2)

，，

令，则，

①当时，可知，在上单调递增，又，

则时，即，单调递减，时，即，单调递增

故在时取得极小值，故满足条件．

②当时，则在上为增函数，又，

若，，当 时，即单调递减，当 时，即单调递增，而，于是，即函数在上单调递增，不合题意；

若，，而，则存在使得，且时，则即单调递减，又，故时，单调递增，时，单调递减，此时为的极大值点，不合题意．

若，则，限定，故，于是当且时，，那么存在，使得.

所以时，，在上单调递增，而，于是，时，即，单调递减，时，即，单调递增，此时为的极小值点，符合题意．

综上所述：函数在处取极小值时a的取值范围是．

【点睛】

本题难度较大，首先需要对函数进行二次求导，紧紧抓住“导函数的正负确定原函数的增减”；其次，“时”这一步函数的放缩有一定的技巧性，平常注意归纳总结.

22．(1)点M的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为；

(2)的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P的极坐标为.

【解析】

【分析】

（1）利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；（2）先设，进而表达出的中点P的坐标，用点到直线距离和三角函数的有界性求出最小值及点P的极坐标.

(1)

由，所以点M的直角坐标为，

化简得：，即，

(2)

设，则，

所以的中点P到直线l的距离

，

当，即，时，，

此时，所以，

由，，可知P点的极坐标为

所以的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P极坐标为.

23．(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用代入法后转化为二次函数后配方即可求解；

（2）利用的等效转换后利用基本不等式即可求证.

(1)

解：由题意得：

当时，的最小值为

(2)

当且仅当，即时取等号；