2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算教案

教学目标

1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；

3．理解空间向量共线的充要条件。

教学重难点

教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；

教学难点：空间向量的线性运算及其性质。

教学过程

一、创设情景

1．平面向量的概念及其运算法则；

2．物体的受力情况分析

二、建构数学

1．空间向量的概念：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：

（1）空间的一个平移就是一个向量

（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

运算律：

（1）加法交换律：

（2）加法结合律：

（3）数乘分配律：

3．共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

 4．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。

推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 。其中向量叫做直线的方向向量。

三、数学运用

1．如图，在三棱柱中，M是的中点，

化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

（1）；

（2）；

（3）

解：

（1）

（2）

（3）

2．如图，在长方体中，，点E，F分别是的中点，设，试用向量表示和

解：