数学人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理教案

这是一份数学人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理教案，共18页。教案主要包含了教学内容，教学目标，教学重难点，教学建议，教学过程，作业布置等内容，欢迎下载使用。

空间向量基本定理

【教学内容】
1．向量的坐标表示和空间向量基本定理；
2．空间向量的标准正交分解与坐标表示；
3．空间向量基本定理。
【教学目标】
1．知识与技能：
（1）了解空间向量基本定理及其意义。
（2）掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示。
（3）会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
（4）掌握空间向量长度与夹角的坐标表示。
2．过程与方法：
从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点。
3．情感、态度与价值观：
从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义观点。
【教学重难点】
重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：向量坐标的确定及空间向量基本定理。
空间向量的标准正交分解与空间向量基本定理是在平面向量的正交分解与平面向量基本定理的基础上，增加了一维，在学习本节内容时，一要进行类比；二要增强空间意识，最好借助长方体这个模型来理解有关规律。
【教学建议】
在前面已学习了平面向量基本定理，所以将其拓展到空间引出空间共线向量定理是比较自然的；对于空间向量基本定理，有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问题本质的理解，所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反思，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一个途径，这一过程是隐性的、长期的，但也是必须的。
【教学过程】
一、创设情境，引出问题：
如何用坐标表示空间向量类比，平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示类比，平面向量基本定理空间向量。
基本定理―→通过例题探究用基底表示空间向量的方法―→通过变式领会空间向量基本定理中唯一性的应用―→归纳总结，形
二、整体认识。
课标解读

1．了解空间向量基本定理及其意义。（重点）

2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标。（重点）

3．理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底。（难点）


知识1
空间向量的标准正交分解与坐
标表示


问题导思1：

　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，e1．e2．e3分别是、、的单位向量，试用向量e1．e2．e3表示向量。
提示：　＝＋＋＝xe1＋ye2＋ze3．
空间向量的标准正交分解与坐标表示，在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数（x，y，z），使得a＝xi＋yj＋zk。我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基。
（x，y，z）叫作空间向量a的坐标，记作a＝（x，y，z），a＝（x，y，z）叫作向量a的坐标表示。
在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x，y，z），向量的坐标也是（x，y，z）。
知识2
投影
问题导思2：　
1．在平面向量中，向量a在向量b方向上的投影如何求？
提示：|a|cos〈a，b〉或。
2．在平面向量中，非零向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影相等吗？
提示：当|a|＝|b|或a⊥b时，相等；当|a|≠|b|且a不垂直于b时，不相等。
（1）一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影。
如图2－3－1所示，向量a在向量b上的投影为
OM＝|a|cos〈a，b〉。

图2－3－1
（2）向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影。
知识3
空间向量基本定理
问题导思3：
1．已知e1．、e2．．e3是空间中不共面的三个向量，如何用向量e1．．e2．．e3表示向量a？
提示：把向量e1．e2．e3与向量a的起点移到同一点O，记＝A。

如图，过点P作三个平面，分别平行于e1和e2，e1和e3，e2和e3所在的平面，得到一个平行六面体OADB－CEPF，是该六面体的一条对角线，向量，，分别与向量e1，e2，e3共线，＝＋＋＝＋＋。
由∥e1，∥e2，∥e3，根据向量共线的性质，存在一组实数λ1，λ2，λ3，使得＝λ1e1，＝λ2e2，＝λ3e3，即a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3．。
2．由1知a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，请问λ1，λ2，λ3唯一吗？
提示：唯一。
（1）如果向量e1．e2．e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1．λ2．λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3．
（2）空间中不共面的三个向量e1．e2．e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1．e2．e3的分解，e1．e2．e3都叫作基向量。
当向量e1．e2．e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3叫作a的标准正交分解。
三、互动探究。
类型1
空间向量的坐标表示


图2－3－2
例1 如图2－3－2所示，PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分别是AB．PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标。
思路探究：从以下两点考虑：
（1）哪三条直线两两垂直？
（2）如何用、、表示向量？

自主解答：
∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴、、是两两垂直的单位向量。
设＝i，＝j，＝k，以i，j，k为基底建立空间直角坐标系A－xyz，如图
∵＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋（＋）
＝－＋＋（＋＋）
＝＋＝j＋k，
∴＝（0，，）。
四、规律方法。
1．建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线。建系时，通常建立右手直角坐标系。
2．在空间直角坐标系O－xyz中，点P的坐标为（x，y，z），向量的坐标也是（x，y，z）。
3．变式训练：

图2－3－3
　如图2－3－3，在直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6。
（1）写出C′的坐标，给出关于i，j，k的分解式；
（2）求的坐标。
解：
（1）C′（4，3，6）。
＝＋＋＝4i＋3j＋6k。
（2）∵＝＋＋＝－3j＋4i＋6k，
∴＝（4，－3，6）。

类型2
空间向量的投影


图2－3－4
例2 　如图2－3－4所示，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′，
（1）求向量在上的投影；
（2）求向量在上的投影。
思路探究：
结合图形的性质，用投影的定义求解。
自主解答：
（1）向量在上的投影为||cos〈，〉＝cos∠A′CD＝×＝1．
（2）向量在上的投影为||cos〈，〉＝cos〈π－∠A′CD〉＝×（－）＝－1。
五、求向量a在向量b上的投影，通常有两种方法：
1．利用投影的计算公式求，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，亦为。
2．利用投影的几何意义求，如图，a在b上的投影为有向线段OM的数量。

3、练习：

图2－3－5
如图2－3－5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝A1A＝2，
求：
（1）向量在上的投影。
（2）向量在上的投影。
解：
（1）向量在上的投影为||cos〈，〉＝||cos∠C1AD1＝2×＝2。
（2）向量在上的投影为||cos〈，〉
＝||cos〈，〉＝|AC1|cos（π－∠BAC1）＝2×（－）＝－4．
类型3
空间向量基本定理的应用


图2－3－6
例3 如图2－3－6，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x、y、z的值。
（1）＝x＋y＋z；
（2）＝x＋y＋z。
思路探究：
将与分别用基底、、线性表示，再利用在同一个基底下向量分解的唯一性求解。
自主解答：
（1）因为＝＋＋，而＝，＝，＝＝－，所以＝＋－＝－＋。因为＝x＋y＋z，所以x＝1，y＝－1，z＝1．
（2）由于＝＋，而＝＝（＋），则＝＋＋。因为＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝1．
方法：
1．在空间图形中，一般选取共点但不共面的三条直线的方向向量作为基底。
2．用基底表示空间某一向量的步骤：
（1）找到以指定向量为一边的封闭图形；
（2）结合平行四边形法则或三角形法则，用基底表示封闭图形的各边所对应的向量；
（3）写出向量的表达式。
3．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量（基底）表示，只要基底选定，这一向量用基底表示的形式是唯一的。

图2－3－7
如图2－3－7所示，在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，D，M分别是OA，BC的中点，G为△ABC的重心，用基向量，，表示向量。
解：
∵D为BC的中点，
∴＝（＋）。
又∵G为△ABC的重心，
∴＝＝（＋），
又∵＝－，＝－，
∴＝（＋）＝（－2＋＋）。
又∵M为OA的中点，∴＝－。
∴＝－＝（－2＋＋）＋＝－＋＋。
六、易错易误辨析。
1、求投影时混淆投影与被投影向量而致误。

图2－3－8
典例1 　如图2－3－8在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量在向量的投影是________。
错解：
在上的投影为||cos〈，〉＝||·cos〈，〉＝cos 45°＝1．
答案：1
错因分析：
未分清要计算的是哪一个向量在哪一向量上的投影致误。
防范措施：
向量a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，而向量b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉，二者通常不等。
正解：
　在上的投影为||cos〈，〉＝||cos〈，〉＝1×cos 45°＝。
答案：
七、课堂小结。
1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合。
2．求向量在另一向量上的投影时，一般将两向量的起点平移到同一点，以便确定向量的夹角，然后利用向量的投影公式求解。
3．设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z。当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面。
八、课后练习。
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则不能作为空间基底的向量组是（　　）
A．{x，y，z}　　　 B．{x，y，a}
C．{b，c，z} D．{a，b，x}

解析：
如图作平行六面体ABCD－A1B1C1D1，使＝a，＝b，＝c，
则＝x，＝y，＝z，
由平行六面体的性质可知：
向量x，y，z不共面；
向量x，y，a不共面；
向量b，c，z不共面。
又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面。故选D．
答案：D
2．在长方体OABC－O′A′B′C′中，OA＝6，OC＝8，OO′＝5．建立如图2－3－9所示坐标系，则的坐标为（　　）

图2－3－9
A．（8，6，5）
B．（6，8，5）
C．（5，8，6）
D．（8，5，6）
解析：点O为向量的起点且为原点，B′（6，8，5），∴＝（6，8，5）。
答案：B
3．若|a|＝4，|b|＝5，且a在b上的投影为－2，则a·b＝________，〈a，b〉＝________。
解析：
由投影的定义知，|a|cos〈a，b〉＝－2，
∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝（－2）×5＝－10，
cos〈a，b〉＝＝＝－，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π。
答案：－10　π

图2－3－10
4．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别在AB，PC上，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，如图2－3－10建立空间直角坐标系，求的坐标。
解：
设＝i，＝j，＝k，
∵＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝＋（－）＝－i＋k，
∴＝（－，0，）。
【作业布置】
一、选择题。
1．已知i，j，k是空间的标准正交基，并且＝－i＋j－k，则的坐标为（　　）
A．（－1，1，－1）　
B．（－i，j，－k）
C．（1，－1，－1）
D．不确定
解析：
根据空间向量坐标的定义知，＝（－1，1，－1），故选A．
答案：A
2．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是（　　）
A．a
B．b
C．c
D．2a
解析：
∵a＝（m＋n），b＝（m－n），
∴a，b，2a与m，n均不可能构成一组基向量，故选C．
答案：C
3．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，若N为BC的中点，则等于（　　）
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c

解析：
如图＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋（－）
＝－＋＋－
＝－＋＋
＝－a＋b＋C．
答案：B
4．棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立坐标系，如图2－3－11，M为AB中点，则的坐标为（　　）

图2－3－11
A．（，－，）
B．（1，－，）
C．（，－，）
D．（1，－，）
解析：
△BCD的中线长为×2＝，则OC＝。
∴OA＝＝ ＝。
∴点A的坐标为（0，0， ）。又点B的坐标为（1，－，0）。
则AB中点M的坐标为（，－，）。
∴＝（，－，）。
答案：A
5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点（包括表面），若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1．则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是（　　）
A．1
B．
C．
D．

解析：
根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1－BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分（如图），即三棱锥A－A1C1D1内，其体积是××1×1×1＝。
答案：D
二、填空题。
6．设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，a＝3i＋j－k，则向量a的坐标为________。
解析：
根据空间向量坐标的含义，a＝（3，2，－1）。
答案：（3，2，－1）
7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x＝________。
解析：
由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝。
答案：
8．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i上的投影为________。
解析：
a在i上的投影为＝＝1．
答案：1
三、解答题。

图2－3－12
9．如图2－3－12所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
（1）；（2）；（3）＋。
解：
（1）∵P是C1D1的中点，
∴＝AA1＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋B．
（2）∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋C．
（3）∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋（a＋c＋b）＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
∴＋＝（a＋b＋c）＋（a＋c）＝a＋b＋C．

图2－3－13
10．如图2－3－13，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1上的点，并且BE＝BB1，DF＝DD1．
（1）证明：A，E，C1，F四点共面；
（2）若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值。
解：
（1）证明：＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋，故A，E，C1，F四点共面。
（2）∵＝－＝＋－－＝＋－－＝－＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝。
∴x＋y＋z＝。
11．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋。
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内。
解：
（1）∵＋＋＝3，
∴－＝（－）＋（－）。
∴＝＋＝－－。
∴向量，，共面。
（2）由（1）知，向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，
∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内。
例题：
已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？
思路探究：

自主解答：
假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有＝x＋y，
即e1＋2e1－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）
＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3．
∴
此方程组无解。
∴，，不共面。
∴{，，}可作为空间的一个基底。
规律：
1．本题是利用反证法来说明向量、、不共面的，解决此类问题要注意反证法的应用。
2．判断一组向量能否作为空间的基底关键是判断它们是否共面，因此，在这组向量中，
（1）若存在零向量，则不能构成基底；
（2）若存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底。
备选变式：
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底。
求证：向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底。
证明：
假设a＋b，a－b，c共面，则存在实数x，y使
c＝x（a＋b）＋y（a－b），
∴c＝（x＋y）a＋（x－y）B．
从而由共面向量定理知，c与a，b共面，这与a．b．c不共面矛盾，∴a＋b，a－b，c不共面。
从而a＋b，a－b，c可以构成空间向量的一个基底。