人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教案

空间向量的基本定理

【教学目标】

1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式。

【教学重难点】

共线、共面定理及其应用。

【教学过程】

一、复习：空间向量的概念及表示；

二、新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：。

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）。

推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②

当时，点是线段的中点，此时③

①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式

3．向量与平面平行：

已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：。

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

4．共面向量定理：

如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使。

推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①

上面①式叫做平面的向量表达式。

三、例题分析：

例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，

试判断：点与是否一定共面？

解：由题意：，

∴，

∴，即，

所以，点与共面。

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算。

练习：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？

解：∵，

∴，

∴，∴点与点共面。

例2．已知，从平面外一点引向量

，

（1）求证：四点共面；

（2）平面平面。

解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，

∵，

∴共面；

（2）∵，又∵，

∴

所以，平面平面。

五、课堂小结：

1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式。

六、作业：

1．已知两个非零向量不共线，如果，，，

求证：共面。

2．已知，，若，求实数的值。

3．如图，分别为正方体的棱的中点，

求证：（1）四点共面；（2）平面平面。

4．已知分别是空间四边形边的中点，

（1）用向量法证明：四点共面；

（2）用向量法证明：平面。