高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理学案，共4页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈等内容，欢迎下载使用。
空间向量基本定理 【学习目标】1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．【学习重难点】1．理解空间向量基本定理．（重点）2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．（难点）3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．（重点）【学习过程】一、新知初探1．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对（x，y），使c＝xa＋yb．2．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．3．相关概念（1）线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．（2）基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．（3）基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．（4）分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．（    ）（2）若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．（    ）（3）若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底．（    ）2．（教材P16练习A①改编）对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是（    ）A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，三、合作探究类型1向量共线问题【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．   类型2共面定理及应用【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内．    类型3基底的判断及应用【例3】（1）若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．（2）如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．   【学习小结】1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．【精炼反馈】1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ）A．，，共线 B．，共线C．，共线 D．O，A，B，C四点共面2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是（    ）A．1B．2C．3D．43．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________．（用a，b，c表示）4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________．5．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；（2）．