2020-2021学年1.2 空间向量基本定理教案设计

空间向量运算的坐标表示

【教学过程】

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则

(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有

(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为

(4)空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。

(5)向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。

2．投影定理

性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即               

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示          图7－5

沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

i+ j+k

或 a = axi+ ayj+ azk

上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为     

     a ＝ {ax，ay，az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

 于是，起点为终点为的向量可以表示为

特别地，点对于原点O的向径

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、 ayj、 azk.

2．向量运算的坐标表示

 设，即，

则

(1)加法： 

减法： 

乘数： 

或  

平行：若a≠0时，向量相当于，即

也相当于向量的对应坐标成比例即

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

 设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。                                                                                    图              7－6

1．模

1．方向余弦

由性质1知，当时，有

任意向量的方向余弦有性质：

与非零向量a同方向的单位向量为：

2． 例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。

解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}

 ，，

 ，，

 设为与同向的单位向量，由于

 即得