数学1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

空间向量运算的坐标表示

【学习目标】

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 会用这些公式解决有关问题.

【学习过程 】

一、课前准备

复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段︱AB︱＝             .

复习2：已知，求：⑴a＋B.    ⑵3a－b；   ⑶6A. ；   ⑷a·b.

二、探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式

问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？

新知：

1. 向量的模：设a＝，则｜a｜＝       

2. 两个向量的夹角公式：设a＝，b＝，

由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝          ，

由此可以得出：cos＜a,b＞＝           

    ①当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是      ；

② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是       ；

③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是       ，

即a与b的位置关系是     ，用符合表示为      .

三、易错题

 设a＝，b＝，则

⑴ a//B. a与b所成角是      a与b的坐标关系为                  ；

⑵ a⊥ba与b的坐标关系为                 ；

3. 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：

.

4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为:         .

四、典型例题

例1. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．

变式：如上图,在正方体中，，求与所成角的余弦值．

例2. 如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：.

变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.

【学习小结】

求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 

练1. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：

⑴    线段AB的中点坐标和长度；

⑵    到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.

1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.

【学习拓展】

在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.

【达标检测】

1. 若a＝，b＝，则是的（  ）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件    C.充要条件        D.既不充分又不不要条件

2. 已知，且，则x＝        （  ）

3. 已知,与的夹角为120°，则的值为（  ）

A.    B.    C.     D.

4. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（  ）

A.           B.                     C.         D.

5. 已知 ， 且，则（  ）

A.       B.  

C.      D.

【作业布置】                  

1.如图，正方体棱长为，

⑴ 求的夹角；⑵求证：.

(3)如图，正方体中，点M,N分别为棱的中点，求CM和所成

角的余弦值.