高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案

空间向量运算的坐标表示

【学习目标】

1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2. 掌握空间向量的坐标运算的规律。

【学习过程 】

一、课前准备

复习1：平面向量基本定理：

对平面上的任意一个向量，是平面上两个          向量，总是存在   实数对，使得向量可以用来表示，表达式为                   ，其中叫做         . 若，则称向量正交分解.

复习2：平面向量的坐标表示：

平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的  向量

作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的     ，即＝    .

【学习拓展】

探究任务一：空间向量的正交分解

问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？

新知：

(1)空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两     ，这种分解就是空间向量的正交分解.

(2)空间向量基本定理：如果三个向量     ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把    的一个基底，都叫做基向量.

反思：空间任意一个向量的基底有       个.

⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相     ，长度都为      ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着        .

⑸设A，B，则＝       .

⑹向量的直角坐标运算：

设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；

⑵a－b＝；

⑶λa＝；

⑷a·b＝.

试试：

1. 设，则向量的坐标为      .

2. 若A，B，则＝       .

3. 已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b

例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？

变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？

小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.

例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和.

变式：已知平行六面体，点G

是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:

⑴           ⑵ .

练1. 已知，求：

⑴；          ⑵.

练2. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是     ，         ，           .【学习小结】

1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；

2. 空间向量坐标表示及其运算

3. 建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.

【达标检测】

1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（  ）

A.      B.     C.      D.

2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是      

3. 在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝             

4. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是         .

5. 已知关于x的方程有两个实根，，且，当t＝  时，的模取得最大值.

6. 已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.

7. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.