2021学年2.1 直线的倾斜角与斜率教案及反思

这是一份2021学年2.1 直线的倾斜角与斜率教案及反思，共5页。教案主要包含了演示动画等内容，欢迎下载使用。
倾斜角与斜率教学目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：（一）直线方程的概念如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）． （2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足． 一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．问：你能用充要条件叙述吗？    答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π   如图3      至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．（三）直线的斜率【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30° -- ＝ 45° --  ＝135°-- ＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）【演示动画】观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系(1)  直线变化→α变化→中的系数变化    （同时注意α的变化）．(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化    （同时注意α的变化）．教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即 ．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列直线的倾斜角和斜率：(1) ＝-    (2) ＝tg60°    (3) ＝tg(-30°)学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．       注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0°      --    ＝00°＜α＜90° --    ＞0α＝90°     --   不存在90°＜α＜180°--  ＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导：运用正切定义，解决问题．(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．            评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？(4)求经过两点(0，0)、(-1，)直线的倾斜角和斜率．(5)课本练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：(1)直线倾斜角的概念要注意什么？(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．(3)＝（），没有．【作业】1．课本习题第3、4、5题．2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？板书设计直线的倾斜角和斜率一、直线方程 二、直线的倾斜角  三、直线的斜率  四、斜率公式  练习 小结 作业