2022届河北省五校联盟（保定市第一中学等）高三下学期3月模拟数学试题含解析

2022届河北省五校联盟（保定市第一中学等）高三下学期

3月模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出A和B的具体区间，然后按照集合交并补的运算法则即可.

【详解】解不等式 ， ，

解不等式 得， ，

；

故选：B.

2．已知复数（，），若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数相等的条件求出a、b，即可得到答案.

【详解】因为，所以.

所以.

所以.

故选：A

3．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用三角函数的二倍角公式即可.

【详解】 ，

故选：B.

4．在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（       ）

A．0或2 B．2 C．0 D．0或

【答案】A

【分析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式建立方程，可解得公差d得选项.

【详解】解：因为在等差数列中，，且，，，构成等比数列，所以，即，

所以，解得或，

故选：A.

5．函数的图象可能是下面的图象

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．

6．已知在三角形中，，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；

【详解】解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以

，因为，所以，所以，即；

故选：A

7．已知数列满足，（，），是数列的前项和，则（       ）

A．508 B．506 C．1011 D．1009

【答案】C

【分析】由所给的条件，寻找规律，分组求和即可.

【详解】由 得：

， ， ， ， ，……， ，

   ，

   ；

故选：C.

8．已知实数，满足，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件令，则，根据条件，则，得；构造函数，求导可判断单调递增．故方程只有一个解，可得，即可求得的值．

【详解】解：由条件得，，令，，则，由条件，则，

令，，则，显然当时，，在上单调递增．

故由，可得，

．

故选：C．

二、多选题

9．下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断.

【详解】在上不单调，故A错误；

为奇函数，故B错误；

图象如下图：

故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；

最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.

故选：CD

10．下列命题中是真命题的有（       ）

A．函数在其定义域上为减函数

B．若随机变量服从正态分布，且，，则

C．若，则

D．若为等比数列，则，，，仍为等比数列

【答案】BC

【分析】利用函数单调性定义判断A；利用正态分布对称性计算判断B；求出二项展开式的指定项判断C；利用等比数列片段和性质判断D作答.

【详解】对于A，函数在、上单调递减，在定义域上不单调，A不正确；

对于B，因，且，，即有，

则它对应的正态曲线关于直线对称，即，B正确；

对于C，因，则，C正确；

对于D，当等比数列的公比时，，则，，，不成等比数列，D不正确.

故选：BC

11．下列结论正确的有（       ）

A．若，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】BCD

【分析】对于A，分和两种情况分析判断即可，对于B，利用指数函数、对数函数和三角函数的单调性判断，对于C，令，则，则，化简，再求可得答案，对于D，构造函数，由导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小

【详解】对于A，当时，由，得，则，当时，由，得，则，因为，所以，综上，或，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，所以B正确，

对于C，令，则，所以，所以，所以，

所以

，所以C正确，

对于D，令，则，

当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，所以，

因为，所以，所以，所以D正确，

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数、对数函数的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，判断出函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题

12．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，点在该正方体的侧面上运动，且平面，以下命题正确的有（       ）

A．平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形

B．侧面上存在一点，使得

C．三棱锥的体积为定值

D．直线与直线所成角的正弦值可以为

【答案】ABD

【分析】取的中点，连接，可得，得到平面截正方体所得的截面图形为梯形，可判定A正确；取的中点为，在等腰中，可判定B正确；由点到平面的距离是变化的，可判定C错误；根据直线与直线所成角即为直线与直线所成角，设，求得的值，可判定D正确.

【详解】对于A中，取的中点，连接，可得，

又由，所以，

所以平面截正方体所得的截面图形为梯形，且为等腰梯形，所以A正确；

对于B中，取的中点为，

在中，由，当为的中点时，所以，所以B正确；

对于C中，因为的面积为定值，当点为平面内的动点，

所以点到平面的距离是变化的，所以三棱锥的体积为不是定值，

所以C错误；

对于D中，在正方体中，可得，

所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，

当点与点重合时，设，

在直角中，可得，

所以直线与直线所成角的正弦值可以为，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，，若，则正实数的值为____.

【答案】2

【分析】由条件可得，解出即可.

【详解】因为，，，

所以，解得（负值舍去）

故答案为：2

14．请写出函数的图象的一个对称中心：______.

【答案】

【分析】将所给的解析式转化为只含有一个三角函数的解析式即可.

【详解】

，

所以其中一个对称中心是 ，

故答案为：.

15．已知，分别为椭圆：（）的左、右焦点，上存在两点，，使得梯形的高为（为半焦距），且，则的离心率为______.

【答案】

【分析】由得，作，根据边的关系得，再由余弦定理得，，最后建立等式可求解.

【详解】因为，所以，则，为梯形的两条底边，

作，垂足为，

因为梯形的高为，所以，

在中，，

所以，因此，

设，则，在中，则余弦定理得:

，

即，解得，

同理可得，

因为，所以，化简得，所以.

故答案为：

四、双空题

16．拿破仑·波拿巴（法语名：Napoléon Bonaparte，1769年8月15日—1821年5月5日），法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者.拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则______，的最大值为______.

【答案】          8

【分析】（1）在中，用余弦定理即可求解；

（2）在中，先求出，，，，用余弦定理得到，利用基本不等式求出最大值.

【详解】设.如图：连结AE，BD.

由拿破仑定理知：为正三角形.

因为D为等边三角形的中心，所以在中，.

设，由余弦定理得：，即，解得：，所以.

因为，所以.同理：.

在中，，，，，

由余弦定理得：，即，所以.

因为，所以，所以，

所以，解得：.

即的最大值为8.

故答案为：

【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：

(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；

(2)从式子结构来选择．

五、解答题

17．在中，内角所对边分别为，若.

(1)求；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得答案；

（2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案.

(1)

∵，∴，∴，由正弦定理得，

又由余弦定理得，∴，

由于，所以.

(2)

∵是锐角三角形，得到.

由正弦定理可知，，

由三角形面积公式有：

又因故

故取值范围是

18．已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，.

(1)求和的通项公式；

(2)把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）分析可知当时，数列为首项为，公差为的等差数列，再结合已知条件可得出数列的通项公式，由题可得的首项和公比，即得的通项公式；

（2）分析可知数列的前项包含有数列的前项，包含数列的前项，利用等差数列和等比数列的求和公式可求得的值.

(1)

当时，因为，

所以，得.

又因为，

所以当时，数列是首项为2，公差为1的等差数列，

所以

因为数列为正项等比数列，

所以公比，首项，因为，，

所以

解得，

所以.

综上，数列和的通项公式分别为，.

(2)

数列前1000项为2，2，3，4，5，…，1000，

数列为2，，，，…，，

所以数列的前1000项包含数列的项为2，2，3，4，5，…，991，共991项，

包含数列的项为2，，，，，，，，，共9项.

所以.

19．2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中，.

(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.

参考公式及数据：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）从这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，可以推算出200人中喜欢冰雪运动的总人数，

进而可以完成表格；

（2）按照分层抽样的原理算出8人中男生和女生的人数，进而确定X的可能取值，按照组合的方法即可算出分布列.

(1)

由题可知，从200名学生中抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，

故喜欢冰雪运动的有人，

不喜欢冰雪运动的有人，即，，，，

列联表如下：

，

故没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；

(2)

按分层抽样，设抽取女生名，男生名，，解得，，

即抽取的8人中喜欢冰雪运动的女生有3人，男生有5人，

故，1，2，3，

，，

，，

的分布列如下：

；

故答案为：列联表见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；

分布列见解析， .

20．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.

(1)证明：；

(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）以B为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.

(1)

因为点在底面内的射影是点，

平面，

平面，

.

在三角形中，，

，，

平面，

平面，

.

(2)

平面，直线与底面所成角的大小为，

，.

以为坐标原点，过点作，以的方向为轴正方向，分别以，的方向为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，，

，.

设平面的法向量为，

可取.

平面的一个法向量是，

，

二面角的大小为.

21．已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线：与的两个交点和，构成一个面积为的菱形.

(1)求的方程；

(2)圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，.

①求的值；

②证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)①②证明见解析

【分析】（1）由条件可得垂直平分，然后可得的值，然后可得直线与的交点坐标，然后可算出；

（2）由条件可得为圆的直径，设，，则，然后可得的值，设直线的方程为（），，，联立椭圆与直线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由可求出的值，即可得到答案.

(1)

因为直线：与的两个交点和，构成的四边形是菱形，

所以垂直平分，所以，.

设为直线与的一个交点，则菱形的面积为.

因为菱形的面积为，所以，解得，即.

将点代入，得，又因为，所以.

故的方程为.

(2)

①由题意，得为圆的一条弦，且直线垂直平分该弦，

故直线经过圆心，所以为圆的直径，因此，即.

设，，则.

注意到，，则.

又因为，，所以.

②易知直线不可能平行于轴，则设直线的方程为（），，.

由得.

，（）

，.①

因为，，所以，

即，

即.

将①代入上式得，

化简得，解得，满足（），

所以直线的方程为，

故直线过定点.

22．已知函数.

(1)请研究函数在上的零点个数并证明；

(2)当时，证明：.

【答案】(1)4，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）函数 是奇函数，所以只要考虑 上的零点，利用函数的单调性即可；

（2）构造函数，用缩放法可以证明不等式.

(1)

为奇函数，所以只需要研究函数上的零点个数，

当时，， 是单调递减的，

，，

所以当时，有一个零点；

当时，令 ，，

是单调递增的，，，

所以存在，使得，

所以当时，， 单调递减的，

当时，， 是单调递增的，

又，所以，，

所以存在使得，

当时，无零点，

综上可知，当时，函数有两个零点，

即在上，函数有四个零点；

(2)

当时， ，

两边取自然对数得：

构造函数，

即，

即，即，则，

于是，，

所以.

【点睛】一般来说当三角函数和其他基本初等函数同时出现在同一解析式时，由于三角函数是周期函数，而其他函数往往没有周期性，所以需要一个区间一个区间取讨论，不论是单调性还是零点，最好在讨论之前先画一个草图；对于第二问难点在于构造函数，因为对数函数是非线性函数，直接计算难度很大，因此考虑缩放的方法，构造一个新函数，将原对数函数转化为一个比较容易计算的函数，像 ， 等比较多见.