2022届云南省昆明市第一中学西山学校高三高考适应性月考（六）数学（文）试题含解析

这是一份2022届云南省昆明市第一中学西山学校高三高考适应性月考（六）数学（文）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届云南省昆明市第一中学西山学校高三高考适应性月考（六）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由绝对值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：由题意，集合，或，所以，故选：B.2．欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（       ）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，进而判断出复平面上所对应的点所在象限.【详解】根据题意，故其在复平面内对应的点的坐标为在第三象限，故选：C.3．正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（        ）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出直观图，由此计算出直观图的面积.【详解】原图中：设是的中点，则，.直观图中：，，所以.故选：D4．辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是（       ）A．庚酉年 B．丙子年 C．癸亥年 D．戊申年【答案】A【分析】根据干支纪年法的规则判断．【详解】干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排列5次（共60个），然后上下组合成一个年份．所有年份如下表所示：1-10   甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉11-20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未21-30 甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅 辛卯 壬辰 癸巳31-40 甲午 乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸卯41-50 甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑51-60甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥故A错误，故选：A．5．已知向量，则下列说法错误的个数是（       ）① 若，则的值为-2；② 的最小值为1；③ 若，则的值为2；④ 若与的夹角为钝角，则的取值范围是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据给定条件，结合向量数量积的坐标运算逐一分析、计算每一个命题即可判断作答.【详解】对于①，若，则，解得，①错；对于②，，②错；对于③，由，得，解得，③正确；对于④，因与的夹角为钝角，则，解得，又与不共线，即，解得，因此，的取值范围是且，④错，所以说法错误的个数是3.故选：D6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】由条件得，由基本不等式得，再由可求解.【详解】∵，又∵，.∴（当且仅当时取等号）.∴，∴面积的最大值为4.故选：D7．已知数列的首项为10，且满足，其前项和为，则满足不等式的的最小正整数值为（       ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据给定条件求出数列的通项公式，再求出，借助解不等式作答.【详解】依题意，由，即，得，而，则数列是以8为首项，为公比的等比数列，有，，于是得：，由，得， 即，整理得：，，解得，所以的最小正整数值为11.故选：C8．点为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出点的坐标，写出对应向量的坐标，利用的范围，即可求得结果.【详解】设，则，故选：B.9．直线：与圆：相交于A，B两点，则的最小值是（       ）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】先求直线所过定点，然后结合图形由可得.【详解】分别取，则，得，即直线过定点，将圆C化为标准方程：，圆心为，半径.如图，因为，所以当圆心到直线距离最大时最小.当CP不垂直直线时，总有，故当时最小，因为，所以的最小值为.故选：D10．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，当时，恒有；则称函数为“函数”.若“函数”满足，则锐角的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.【详解】解：由得函数是上的增函数，又由，即，由题设：，∴，即有，∴，即，∵为锐角，则，∴，则的取值范围是，故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.11．已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为(       )A．4 B．12 C．8 D．6【答案】C【分析】设正方体内切球的球心为，则，，将问题转化为求的最大值.【详解】设正方体内切球的球心为，则，，∴＝，又点在正方体表面上运动，∴当为正方体顶点时，最大，且最大值为正方体体对角线的一半，，∴的最大值为.故选：C.12．已知，，设，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】由已知，∵，∴，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，综上.故选：A.二、填空题13．抛物线的准线方程是______.【答案】【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.【详解】由得抛物线方程为，所以，所以抛物线的准线方程是，故答案为：.14．若，则__________.【答案】2【分析】利用差角的正弦公式变形，结合诱导公式、弦化切即可计算作答.【详解】依题意，，整理得：，所以.故答案为：215．在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是.则的大小关系为___________.【答案】【分析】利用古典概型求概率的方法分别求出，比较出大小.【详解】如图所示，连接长方体的四个顶点，可得鳖臑.（1）从鳖臑的六条棱中任取两条，有种取法，其中互相垂直的取法有5种：，，，，，所以.（2）从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上）有4×3=12种取法，它们互相垂直的取法有2种：平面，平面，所以.（3）从鳖臑的四个面中任取两个面，有种取法，它们互相垂直的取法有3种：平面平面，平面平面，平面平面，所以，故.故答案为：16．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于点），则下列四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面.其中说法正确的序号有_______.【答案】①④【分析】对于①，根据点到面的距离及底面的面积不变可判断；对于②，根据面面平行可判断；对于③，假设成立，再得到矛盾，从而可知不正确；对于④，由线面垂直证明面面垂直.【详解】对于①：如图，由正方体知，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，又∵点在线段上运动，∴ 点到平面的距离为定值，又∵的面积为定值，∴三棱锥的体积不变，∴三棱锥的体积不变，故①正确；对于②：连接，且相等，由①知：，,且平面，,且平面，∴平面平面，又平面，从而由面面平行的性质可得平面，故②错误；对于③，如图，连接,.由于平面，∴，若，则平面，，则为中点，与为动点矛盾，故③错误；对于④：如图，连接，,,由对角面知，由对角面知，由此可得平面，又平面，从而平面平面，故④正确.故答案为：①④三、解答题17．国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值.【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列见解析，.【分析】(1)频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5.(2)根据超几何分布的概率计算方法计算分布列，根据均值的方法计算均值即可.【详解】(1)众数：150；第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，平均数：，设中位数为，则中位数在第3组，则，；(2)用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，∴的可能取值为0，1，2，∴，，，∴的分布列为：012 ∴.18．如图甲，等腰梯形ABCD中，，于点E，且，将梯形沿着DE翻折，如图乙，使得A到Р点，且.(1)求直线PD与平面EBCD所成角的正弦值；(2)若，求三棱锥的表面积.【答案】(1)(2)【分析】(1) 作于点，先证明PM垂直于平面BCDE，即为直线与平面所成角，然后计算可得；(2)作交于点，以MB、MN、MP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，用向量法求出三个侧面与底面与底面所成二面角的余弦值，根据二面角的余弦值=侧面在底面上的投影面积侧面面积可得.【详解】(1)如图，作于点，∵，平面PBE，平面PBE，∴平面，∴，又∵，平面BCDE，平面BCDE，∴平面，∴为与平面所成角，设，则，，因为所以，所以.(2)如图，过作交于点，∴.由（1）知，平面，易知MB、MN、MP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，因为，得为直角三角形，且，所以，所以得所以，∴为的中点，∴.，设分别为平面PBC，平面PCD，平面PBD的法向量，则，，，取，得，记二面角,二面角,二面角的平面角分别为，易知均为锐角，则，，，因为，，，所以，，又所以三棱锥的表面积.19．已知数列满足，且,是的前项和.(1)求；(2)若为数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.【详解】(1)∵，∴，，…由上述个等式相加得∴，∴，.(2)令，∴，又因为，且∴，综上，，得证.20．如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线离心率为，若点为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于点，点为线段的中点，延长，分别与双曲线交于两点.(1)若，求证：；(2)若直线的斜率都存在，且依次设为.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)为定值，7【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线的方程为，与双曲线联立得，同理得，由斜率公式及（1）中的结论可得结论.【详解】(1)证明：由双曲线离心率，，及，可得，所以双曲线方程为，.当直线的斜率不存在时，，，直线的斜率存在时，，，整理得，综上所述，成立；(2)依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入双曲线并化简得：，①由于，则代入①并化简得：，设，则，，代入，得，即，同理可得，所以，所以是定值.21．已知函数，.(1)若有两个零点，求实数的取值范围；(2)若使得在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求 看作是有两个不同的零点，利用导数及零点存在定理可求取值范围；（2）理解题意，即是求 最大的那个函数对于任意的 不等式恒成立.【详解】(1)设 ， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ，单调递增，当 时， 取极大值，也是最大值， ，因为有两个不同的解即有两个不同的零点，故即.当时，若，则有恒成立，此时至多一个零点，不合题意；故即，此时，而，故在有一个零点；下证：当时，即证：，设，则，故在上为增函数，故，即成立.当时，有，故此时在有一个零点；综上，当时，曲线 与直线 有两个交点.(2)由题意，   ，由于 ， ， ，∴ ，当m=0时等号成立，即当 时，……① 恒成立，显然当时 ，①不能恒成立，当时 ，则①也不能恒成立；设 ，令 ，   ，∵ ，令 ， ，显然 是减函数， ，当 时， ，当时等号成立，即 ， 是减函数， ，故有 ，① 恒成立；当 时， ，令 ， ，∴ 是减函数， ，即在 时必然存在 使得 ，当 时，     ，即 ， 是增函数，由于 ，故当时， ，即①不成立，故b的取值范围是 ，综上， ， .【点睛】本题的难点在于不等式的理解和转化，要通过转化把原不等式抽象的含义转化为具有明确意义的，并且在计算上不是很困难的函数形式，否则计算有可能进行不下去.22．在平面直角坐标系中，直线的方程为为参数，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；(2)设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）通过加法消元求得直线的普通方程，再利用求得其极坐标方程；对曲线通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；（2）求得曲线的极坐标方程，联立与直线和曲线的极坐标方程，求得，将目标式转化为关于的三角函数，求其最值即可.【详解】(1)对直线的参数方程，两式相加可得，且，由，得，又对曲线，经过变换，则，即，所以直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为.(2)直线极坐标方程整理得，即，曲线变形得，即，，由题可知，，则当且仅当，即，，当时，的最大值为.23．已知x，y，z均为实数.(1)求证：1＋2x4≥2x3＋x2；(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用作差法推出表达式的值为非负，即可证明结果；（2）由柯西不等式，转化求解有最小值即可．【详解】(1)，所以；(2)因为（由柯西不等式得）所以，当且仅当即时，有最小值．