2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测卷（二）数学（文）试题含解析

2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测卷（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】试题分析：由题意可知集合A表示的三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于2的所有实数，所以两个集合的交集为空集.

【解析】本小题主要考查集合的运算.

点评：集合的关系和运算是每年高考必考的题目，难度较低，要注意分清集合元素到底是什么.

2．已知命题p：，.则为.

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，

所以p：，的否定 :.

故选C.

3．下列函数中，既是奇函数，且在区间[0,1]上是减函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据反比例函数、正弦函数、余弦函数、幂函数的性质进行逐一判断即可.

【详解】A：函数是奇函数，因为，所以在区间[0,1]上是减函数不正确；

B：函数是偶函数，不符合题意；

C：函数是实数集上的增函数，不符合题意；

D：函数是奇函数，在[0,1]上单调递减，符合题意.

故选：D

4．函数的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解析：因是奇函数，且当时，都有，函数单调递增，故应选答案B．

5．当强度为x的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数）.装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，列出方程组解出，，可得出的值，得到答案.

【详解】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，

由题意，，

所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为

.

故选：C

【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查对数的性质、运算法则等基础知识，属于基础题.

6．已知是第三象限的角，且，那么的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将恒等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得结果.

【详解】∵，

∴，

∵，∴，

∵角是第三象限角即，

∴，∴，

故选A．

【点睛】本题主要考查已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．

7．要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需把函数y=sin2x的图像

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】将目标函数变为，由此求得如何将变为目标函数.

【详解】依题意，目标函数可转化为，故只需将向左平移个单位，故选B.

【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换中的平移变换，属于基础题.

8．已知，，，则的最大值为（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知结合指数的运算可得，，然后根据可求最值．

【详解】解：，，且，

，即，

则，

当且仅当时取得最大值．

故选：B．

9．已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（       )

A．－3 B．－2 C．－1 D．－4

【答案】B

【详解】圆心为，圆心到直线距离为，故圆的半径为，即，故选.

10．如图，已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则双曲线的离心率为（       ）

A．9 B．5 C． D．3

【答案】D

【分析】根据条件得到，即，联立方程，求出，建立方程，求出，从而求出离心率.

【详解】如图，渐近线与椭圆交点为C，则由题意得：，即，联立与，解得：，联立与圆，解得：，从而，解得：，故双曲线离心率为.

故选：D

11．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出．

【详解】解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点，

则，而，，

，因此，

，，，，

对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误；

对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，

，于是，即就是当为的中点的时候，②正确；

同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，，

设其夹角为，则，

令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误；

对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误．

所以正确的个数为1个.

故选：D.

12．已知，都是偶函数，且在上单调递增．设，若，则（       ）

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】C

【分析】设，，可得，再分，讨论计算即可得到结论.

【详解】解：设，因为是偶函数，且在上单调递增，

则关于对称，且在上单调递增，

，

由题意，不妨设，

则，

作出函数的图象如下图所示，

当时，，，

此时，

，

；

当时，，，，

此时，

，

又，

；

综上，.

故选：C.

【点睛】本题考查函数性质的运用，考查分类讨论及数形结合的数学思想，作为选择题常可以取特殊值或特殊函数，从而简化运算，降低思维难度，本题属于中档题.

二、填空题

13．已知为虚数单位，复数，则______．

【答案】

【解析】【详解】试题分析：，所以，所以答案应填：．

【解析】1、复数的除法运算；2、复数的模．

14．某地球仪上北纬纬线长度为，则该地球仪的体积为_______.

【答案】

【分析】地球仪上北纬纬线的周长为，可求纬线圈的半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．

【详解】作地球仪的轴截面，如图所示：

因为地球仪上北纬纬线的周长为，

所以，

因为，所以，

所以地球仪的半径，

所以地球仪的体积，

故答案为．

【点睛】本题地球仪为背景本质考查线面位置关系和球的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．

15．从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在 内的学生中选取的人数应为________．

【答案】0.030 , 3

【详解】因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人.

16．抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，则的外接圆的方程为______.

【答案】

【分析】利用抛物线的定义得出垂直于抛物线的准线，设，则，求出的边长，写出有关点的坐标，得到外心的坐标，的外接圆的半径，从而求出其方程．

【详解】解：据题意知，为等边三角形，，

抛物线的准线，，

设，则，则等边三角形边长为12，

如图，取的中点，则，

在直角三角形中，，则，

所以外心的坐标为，

则的外接圆的半径为，

则的外接圆的方程为．

故答案为：．

三、解答题

17．新潮媒体公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

(1)将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

附：，其中．

根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你是否有理由认为“体育迷”与性别有关?请说明理由；

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

【答案】(1)列联表见解析；没有理由认为“体育迷”与性别有关

(2)

【分析】（1）根据题意求出体育迷的总人数，从而可填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（2）由题意利用列举法求出基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算所求的概率值．

(1)

解：（1）由频率分布直方图可知，

在抽取的100人中，“体育迷”有人，

“体育迷”中有10名女性，则有15名男性，

则“非体育迷”中有45名女性，30名男性，

从而完成列联表如下；

由表中数据，计算，

因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关；

(2)

解：由频率分布直方图知“超级体育迷”有人，其中有2名女性，记为、，3名男性，记为、、，

从这5人中任意选取2人，所有的基本事件为：

、、、、、、、、、共10种，

至少有1名女性观众的事件为：

、、、、、、共7种，

故至少有1名女性观众的概率．

18．已知数列为等差数列，且，．

(1)若等比数列满足，，求等比数列的通项公式；

(2)在（1）的条件下，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，再求出等比数列的首项和公比；

（2）分别求等差数列、等比数列的前n项和再相加即可.

(1)

设数列公差为d，由，有，

所以．

所以，

又等比数列首项，所以公比，

所以．

(2)

由（1）得

所以.

19．如图，已知三棱锥，，，，，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）先由已知得到为直角三角形，得到，进而得到平面，

证得，结合已知得证结论.

（2）借助勾股数求得相应线段长度，求得，得到，再根据求得结果.

【详解】（1）∵为的中点且为正三角形，

∴，

又∵，，∴平面，

∴，

又，且，

∴平面.

（2）由（1）得且，

所以，

又平面，且，

，

由为的中点，所以.

20．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点

（1）若，求的面积；

（2）是否存在着直线，使得当经过椭圆左顶点且与椭圆相交于点，点与点关于轴对称，满足，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或，理由见解析.

【解析】（1）联立方程解得，，，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.

（2）联立方程计算，根据计算得到答案.

【详解】（1），，

（2）设故

且，

故

即故

或

【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

21．设函数，其中．

（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或

【分析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．

【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，

即对于任意实数都成立，

所以.                                                                         

此时，则.

由，解得.                                                    

当x变化时，与的变化情况如下表所示：       

所以在，上单调递减，在上单调递增.     

所以有极小值，有极大值.               

（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.                                                          

 对函数求导，得.                              

 由，解得，.                                   

 当x变化时，与的变化情况如下表所示：       

所以在，上单调递减，在上单调递增.       

又因为，，，，

所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                                                        

即当或时，函数在区间上有两个零点.

【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

22．在直角坐标系中，的圆心为，半径长为．

(1)写出的一个参数方程；

(2)过点作的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

【答案】(1)，为参数；

(2)和

【分析】（1）利用圆的参数方程定义进行求解；（2）设出切线方程，先根据圆心到直线距离等于半径求出切线的直角坐标方程，再化为极坐标方程.

(1)

的一个参数方程为，为参数；

(2)

设的切线方程为，则由，解得：，所以两切线方程为，化为极坐标方程为：和

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意实数及恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式求得的最小值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，不等式为.

当时，不等式可化为，解得，此时；

当时，不等式可化为，即，不成立；

当时，不等式可化为，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为或；

（2），

而，当且仅当时等号成立.

即当和变化时，的最小值为，

因为不等式对任意实数及恒成立，

，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.