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2022届陕西省安康中学(安康市)高三下学期4月第三次联合考试文科数学试题含解析
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这是一份2022届陕西省安康中学(安康市)高三下学期4月第三次联合考试文科数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
安康市2022届高三下学期4月第三次联合考试数学(文科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则( )A. B. C. D.2.已知复数,则在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合,则实数的最小值是( )A. B. C. D.84.已知数列的前n项和为,且,则( )A.129 B.132 C.381 D.3845.在边长为4的正方形内任取一点,则该点到此正方形的各顶点的距离大于1的概率为( )A. B. C. D.6.若,则( )A. B. C. D.7.在正方体中,M是正方形ABCD的中心,则直线与直线所成角的大小为( )A.30° B.45° C.60° D.90°8.2022年3月,“一盔一带”安全守护行动在全国各地展开.某地交警部门加强执法管理期间,对某路口不带头盔的骑行者进行了统计,得到如下数据(其中y表示第x天不戴头盔的人数):x1248y11549325若y关于x的回归方程为,则( )A.4 B.-4 C.6 D.-69.若点为圆的弦AB的一个三等分点,则弦AB的长度为( )A. B.4 C. D.10.已知函数为偶函数,且当时,,则不等式的解集为( )A. B.C. D.11.已知斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为,,若与的面积之比为4,则k的值为( )A. B. C. D.12.已知直线分别与直线、曲线交于点A,B,则线段AB长度的最小值为( )A.2 B. C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知平面向量,,若与垂直,则实数______.14.已知双曲线的右焦点为F,右顶点为A,B是虚轴的一个端点,若点F到直线AB的距离为,则双曲线的离心率为______.15.直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,,若球O的表面积为,则这个三棱柱的体积是______.16.已知为等差数列的前n项和,,,设,且数列的前n项和为,则使恒成立的实数的取值范围是______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角B的大小; (2)若,求△ABC的周长的取值范围.18.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,平面平面ABCD,,,点E为CD的中点.(1)求证:平面平面PAC;(2)求点E到平面PAC的距离.19.(本小题满分12分)大豆是我国重要的农作物,种植历史悠久.某种子实验基地培育出某大豆新品种,为检验其最佳播种日期,在A,B两块试验田上进行实验(两地块的土质等情况一致).6月25日在A试验田播种该品种大豆,7月10日在B试验田播种该品种大豆.收获大豆时,从中随机抽取20份(每份1千粒),并测量出每份的质量(单位:克),按照,,进行分组,得到如下表格: A试验田/份4511B试验田/份6104把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满,否则为籽粒不饱满.(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关?(2)用分层抽样的方法从A,B两块实验田抽取的千粒质量在的样本中抽取5份样本,再从这5份样本中任取2份,求所抽取的2份来自不同试验田的概率.参考公式:,.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为,点在C上,c为椭圆C的半焦距.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若经过F的直线l与C交于A,B(异于P)两点,与直线交于点M,设PA,PB,PM的斜率分别为,,,求证:.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)若函数在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数存在极值,且这些极值的和大于,求实数a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l和曲线C相交于A,B两点,求的值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集;(2)当时,恒成立,求实数m的取值范围. \ 安康市2022届高三下学期4月第三次联合考试数学(文科)参考答案、提示及评分细则1.C 由得,所以,所以,故选C.2.D ,则,在复平面内对应的点为,所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.3.A 由题可知,是该函数的周期的整数倍,即,解得,又,故其最小值为.故选A.4.C 当时,由,得;当时,由,得,故,此时.故选C.5.B 如图,该点落在正方形内虚线外的区域时,满足到此正方形的各顶点的距离大于1,正方形的面积为,四个圆的面积和为,所以该点到此正方形的各顶点的距离大于1的概率为.故选B.6.C .故选C.7.A 设正方体的棱长为,连接,MC,MB.因为,故或其补角为直线与直线所成的角.而,,,故,所以,所以,故直线与直线所成角的大小为30°.故选A.8.D 由题意:设,则y关于的回归方程为,易知,,所以.故选D.9.A 不妨设P为靠近A的一个三等分点,设AB的中点为Q,原点为O,,则,由,得,所以,故.故选A.10.D 当时,,所以,因为,所以,即,所以函数在上单调递增,又因为函数为R上的偶函数,所以函数在上单调递减.则不等式,即等价于,所以或.故选D.11.B 由已知和抛物线定义知:,设直线AB的倾斜角为,则,,所以,解得,所以,故选B.12.C 令,则,所以在上单调递减,在上单调递增, 所以.所以直线在曲线的上方,由,则,由,则,则.令,则,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,.故选C.13.1 因为与垂直,所以,即,,解得.14.2 设,则,不妨取,所以直线AB的方程为,即,所以点F到AB的距离为.因为,所以,所以,所以.15. 因为AB=AC=1,,所以,所以直三棱柱外接球的球心O即为侧面的中心.设球O的半径为r,则,解得,即,所以直三棱柱的高,所以直三棱柱体积.16. 设的公差为,由得解得故数列的通项公式为,所以.则①,②,由①-②得,所以.因为等价于恒成立,而,所以.17.解:(1)∵,∴由正弦定理得:,又,∴,∴,即,∴.∵△ABC为锐角三角形,∴,∴即.(2)∵,,∴由正弦定理有:,∴,,.∵,,∴.∵△ABC为锐角三角形,∴,,∴,∴,,∴,即△ABC的周长的取值范围是.18.(1)证明:∵平面平面ABCD,且平面平面ABCD=AB,,平面ABCD,∴平面PAB.又平面PAB,∴,又,且,PB,平面PBC,所以PA平面PBC.又平面PAC,∴平面PAC平面PBC.(2)解:在△PAB中,PA=PB,取AB的中点O,连接PO,则POAB,PO=1.∵平面PAB平面ABCD,且平面平面ABCD=AB,平面PAB,∴PO平面ABCD.由(1)知PA平面PBC,又平面PBC,所以PAPC.在△PAC中,,,所以,.又,设点E到平面PAC的距离是h,由,得,所以.所以点E到平面PAC的距离为.19.解:(l)列联表为 6月25日播种7月10日播种合计饱满11415不饱满91625合计202040,所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关.(2)用分层抽样的方法从A试验田抽取份数为,记为M,N;从B试验田抽取的份数为,记为x,y,z.从5份中抽2份所含基本事件有MN,,,,,,,xy,xz,yz,基本事件总数为10.来自不同试验田的基本事件有,,,,,,基本事件数为6.所以所求概率.20.(1)解:因为椭圆的右焦点为,所以.①因为点在C上,所以②.又,③由①②③,解得,.故椭圆的标准方程为.(2)证明:,设,,直线,则.由消去y得,所以,,所以..又因为,所以,命题得证.21.解:(1)由题意知:的定义域为,,令,则.所以有,单调递增,有,单调递减,且.所以要使在定义域上单调,则即可,故.(2)因为存在极值,所以不单调,由(1)知:.所以有,有,所以方程分别在,上有根,,即的两个根为,,且.所以,.而,即为的两个极值,所以依题意有,所以.22.解:(1)由消去t得.由得,因为,,所以即.所以直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为.(2)因为直线l的标准参数方程为代入,消去x,y得.设点A,B对应的参数为,,则,,所以.23.解:(l)即为,①当时,得,即,此不等式无解;②当时,得,解得,舍去;③当时,得,解得(舍去)或.故不等式的解集为.(2)当时,则,所以.由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,所以,当时,,当时,,即.因为时,有最大值0,所以.因此实数的取值范围是.
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