2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测(一)数学(理)试题含解析
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这是一份2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测(一)数学(理)试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测(一)数学(理)试题一、单选题1.已知集合,,则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】化简集合,按照并集定义,即可求解.【详解】,.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.若,则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】C【分析】利用特殊值判断ABD,根据不等式的性质判断C;【详解】解:对于A:若,,显然满足,但是,故A错误;对于B:若,,显然满足,无意义,故B错误;对于C:因为,,所以,故C正确;对于D:若,,显然满足,但是无意义,故D错误;故选:C3.如果是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【分析】根据向量共线定理求解即可.【详解】对A项,设,则,无解对B项,设,则,无解对C项,设,则,无解对D项,,所以两向量为共线向量故选:D【点睛】本题主要考查了基底的概念及辨析,属于基础题.4.已知,且,则( )A. B. C. D.2【答案】B【分析】根据,可得,再利用二倍角的正弦公式及平方关系化简,即可得出答案.【详解】解:由于,所以,故,,因此,即,即,故.故选:B.5.设函数则满足的取值范围是A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+) D.[0,+)【答案】D【分析】根据函数解析式,结合指对数函数的单调性,讨论不同区间对应的x范围,然后取并.【详解】由,可得;或,可得;综上,的取值范围是.故选:D6.在中,,则为( ).A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】B【分析】由通过诱导公式辅助角公式化简可得,再由化简可得,又三角形内角和为,所以 ,进而得出结果.【详解】由可得即,再由辅助角公式化简得即,又,所以,再由可得,所以,又,所以,所以,所以为直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、辅助角公式的化简,属于基础题.7.素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式(是素数),法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式(是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为,第19个梅森素数为,则下列各数中与最接近的数为( )(参考数据:)A. B.C. D.【答案】B【分析】由2170,令2170=k,化指数式为对数式求解.【详解】解:2170.令2170=k,则lg2170=lgk,∴170lg2=lgk,又lg2≈0.3,∴51=lgk,即k=1051,∴与最接近的数为1051.故选B.【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质,考查运算能力,是基础题.8.已知函数,,的零点分别为,,,则,,的大小关系是( ).A. B.C. D.【答案】A【分析】将问题转化为,,与交点的横坐标大小的比较,通过数形结合的方式可确定大小关系.【详解】在同一坐标系中分别作出,,,的图象,如图所示. 由图可知,函数,,的零点分别为,,,则,,,所以.故选:A9.我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休,在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如函数的部分图象大致是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案.【详解】因为函数定义域为,关于原点对称,而,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A,C;又因为,故排除B.故选:D.【点睛】本题主要考查函数图象的识别,涉及余弦函数性质的应用,属于基础题.10.给定函数:①,②,③,④,其中在区间上单调递减的函数序号是( ).A.①③ B.③ C.②③ D.①④【答案】C【分析】根据基本函数的性质逐个分析判断即可【详解】解:①在定义域上为增函数,则在区间上也为增函数;②有意义时,,即,且,则函数为上的减函数,故在区间上也为减函数;③,对称轴为直线,且开口向上,则函数在区间上为减函数,故在区间上也为减函数;④,,则函数为R上的增函数,故在区间上也为增函数.综上所述,②③为区间上单调递减的函数.故选:C.11.已知函数有唯一零点,则A. B. C. D.1【答案】C【分析】【详解】因为,设,则,因为,所以函数为偶函数,若函数有唯一零点,则函数有唯一零点,根据偶函数的性质可知,只有当时,才满足题意,即是函数的唯一零点,所以,解得.故选:C.【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题,从而构建不等式求解.12.已知定义在上的函数为增函数,且,则等于( )A. B. C.或 D.【答案】A【分析】设f(1)=t,由题意知t≠0,令x=1,代入f(x)•f[f(x)+]=1,得f(t+1)=,令x=t+1代入f(x)•f[f(x)+]=1,得f(+)=t=f(1),由在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,得t2﹣t﹣1=0,由此能求出f(1).【详解】设f(1)=t,由题意知t≠0,令x=1,代入f(x)•f[f(x)+]=1,得f(1)f[f(1)+1]=1,即f(t+1)=,令x=t+1代入f(x)•f[f(x)+]=1得,f(t+1)f[f(t+1)+]=1,∴f(+)=t=f(1),∵在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,∴+=1,化简得t2﹣t﹣1=0,解得,t=或t=.∵定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)•f(f(x)+)=1,∴f(1)=.故选A.【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数的单调性、换元法等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.二、填空题13.若实数x,y满足约束条件,则的最小值是______.【答案】-1.5【分析】作出约束条件所表示的可行域,再利用直线截距的几何意义,即可得答案.【详解】画出满足约束条件的可行域,如图所示.目标函数化为.由,解得,则.当直线过点A时,取得最小值为.故答案为:14.已知函数的定义域为,其部分自变量与函数值的对应情况如表:x0245312.513 的导函数的图象如图所示.给出下列四个结论:①在区间上单调递增;②有2个极大值点;③的值域为;④如果时,的最小值是1,那么t的最大值为4.其中,所有正确结论的序号是______.【答案】③④【分析】画出函数图象,数形结合作出判断.【详解】根据函数的导函数的图象与表格,整理出函数的大致图象,如图所示.对于①,在区间上单调递减,故①错误;对于②,有1个极大值点,2个极小值点,故②错误;对于③,根据函数的极值和端点值可知,的值域为,故③正确;对于④,如果时,的最小值是1,那么t的最大值为4,故④正确.综上所述,所有正确结论的序号是③④.故答案为:③④15.已知数列的首项,其前项和为,且满足,若对任意的,恒成立,则的取值范围是______.【答案】【分析】分析可知,从第二项起,数列的奇数项和偶数项分别成等差数列,求出、,可得出关于的不等式组,由此可解得实数的取值范围.【详解】解:当时,由题意可知,,故.当时,,可得,上述两个等式作差得,①所以,②.由②①,得,所以从第二项起,数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列.当时,由,得.若对任意的,恒成立,则,即,解得.故答案为:.三、解答题16.设是函数的图象上一点,向量,,且满足.数列是公差不为0的等差数列,若,则______.【答案】18【分析】由向量共线求出函数的解析式,设,利用函数的单调性以及等差数列的性质讨论的值,从而求出的值.【详解】由,得,整理得,因为设函数,则奇函数单调递增.由,可得又数列为公差不为0的等差数列,因此,即,此时;故答案为:17.在中,,,且,再从条件①、条件②中选择一个作为已知.条件①:;条件②:.(1)求b的值;(2)求的面积.【答案】(1)选条件①:;选条件②:(2)选条件①:;选条件②:【分析】(1)若选①:在三角形ABC中由正弦定理及余弦定理可得a,b关系式,解方程可得b的值;若选②:由正弦定理可得a,b,c的关系,再由余弦定理可得a,b,c的关系,再由A角的余弦值可得b的值.(2)结合(1),利用三角形面积公式即可求出三角形的面积;(1)选条件①:.在中,因为,所以.因为,且,,,所以,化简得,解得或.当时,,与题意矛盾,所以,所以.选条件②:.在中,因为,且,所以由,得.因为,且,,,所以,解得.(2)选条件①:.因为,,所以,所以.选条件②:.由(1)知,所以.因为,,所以,所以.18.已知是公差为2的等差数列,其前8项和为64.是公比大于0的等比数列,.(I)求和的通项公式;(II)记,(i)证明是等比数列;(ii)证明【答案】(I),;(II)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.【分析】(I)由等差数列的求和公式运算可得的通项,由等比数列的通项公式运算可得的通项公式;(II)(i)运算可得,结合等比数列的定义即可得证;(ii)放缩得,进而可得,结合错位相减法即可得证.【详解】(I)因为是公差为2的等差数列,其前8项和为64.所以,所以,所以;设等比数列的公比为,所以,解得(负值舍去),所以;(II)(i)由题意,,所以,所以,且,所以数列是等比数列;(ii)由题意知,,所以,所以,设,则,两式相减得,所以,所以.【点睛】关键点点睛:最后一问考查数列不等式的证明,因为无法直接求解,应先放缩去除根号,再由错位相减法即可得证.19.已知函数,再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①:的最大值与最小值之和为;条件②:.(1)求的值;(2)求函数在上的单调递增区间.【答案】(1)选①:;选②:.(2)选①或②,函数在上的单调递增区间为.【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为,根据所选条件①或②可得出关于实数的等式,由此可解得对应的实数的值;(2)选①或②,由可得,解不等式即可得解.(1)解:选①:,则,,由已知可得,解得,此时.选②:,,解得,此时.(2)解:选①:由可得,由,解得,故函数在上的单调递增区间为;选②:同①.20.已知函数.(1)求的极值;(2)已知,且对任意的恒成立,求的最大值;(3)设的零点为,当,,且时,证明:.【答案】(1)极小值为-1,无极大值;(2)3;(3)证明见解析.【分析】(1)对函数求导,分析导函数在其零点分定义区间上的正负即可得解;(2)将给定不等式等价转化,构造函数,并讨论其最值即可得解;(3)讨论函数的零点,构造函数并讨论其单调性,再借助单调性即可作答.【详解】(1) 函数定义域为,,时时,时,取得极小值,无极大值,所以的极小值为-1,无极大值;(2),令,,由(1)知在上单调递增,而,,即,当时,,当时,,于是得在上递减,在上递增,则时,,从而有,而,则,所以的最大值是3;(3)由(1)知在上递增,,,即大于1的零点,令,,显然在上单调递减,,于是得,在上单调递减,,且时,,即,所以,且时,..21.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若函数的极小值为0,.①求的值;②若对于任意的,,有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)单调减区间为(2)①②【分析】(1)首先求出导函数,利用导数与函数单调性的关系即可求解.(2)①由已知可得,,求出导函数,令,利用导数与极值的关系即可求解; ②设,根据题意只需成立,求出,结合①分类讨论,若,当时,,不满足,故必有,令,解得,根据与定义域的关系进行讨论:分或,利用导数求出即可求解.【详解】解:(1)由已知得,令,方程无实数解,可知对任意都有,所以函数的单调减区间为,无增区间.(2)由已知化简得,.①,令,解得.当变化时,,的变化情况如下表:0极小值 故极小值.因为极小值为0,所以.②设,根据题意,对任意的,,有成立,可得.由①可知,当时,在处取得最小值0,又因为在上递增,所以当时,.若,则当时,,不符题意,舍去.故必有.令,解得.下面根据与定义域的关系进行讨论:当,即时,在上恒成立,因此在,上递减,从而当,时,总有,故符合题意;当,即时,可知对任意的,恒成立,因此在,内递增.因为,所以当时,,不合题意.综上,的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据函数的极值求参数值、利用导数研究不等式恒成立问题,属于难题.22.在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为,以点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,l与x轴交于点M.求l的直角坐标方程,点M的极坐标;设l与C相交于A,B两点,若、、成等比数列,求p的值.【答案】(1),;(2)【分析】直接利用转换关系,把参数方程,直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.写出直线l的参数方程并代入曲线C中,写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解.【详解】解:由得,,的直角坐标方程.令得点M的直角坐标为,点M的极坐标为 .由知l的倾斜角为,参数方程为,为参数,代入,得,.,,.,.【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用,属于基础题.23.已知设函数(1)若,求不等式的解集;(2)若函数的最小值为1,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意,只需解,再分类讨论求解即可;(2)由题知,进而根据柯西不等式即可证明.【详解】(1),不等式,即当时,当时,当时,∴不等式的解集为(2)∵,∴∴.
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