2022届江西省上饶一中高三下学期4月二轮复习验收考试数学(理)试题含解析
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这是一份2022届江西省上饶一中高三下学期4月二轮复习验收考试数学(理)试题含解析,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
江西省上饶2022届高三下学期4月二轮复习验收考试数学(理)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为( )A. B. C. D.2.已知集合,,若,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.3.对高三某班级的学生进行体能测试,所得成绩统计如下图所示,则该班级学生体能测试成绩的中位数为( )A.80 B.85 C.82.5 D.834.已知命题p:,;命题q:直线:x-ay+3=0与:2x+ay-1=0相互垂直的充要条件为.则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D.5.已知某三棱锥的三视图如下所示,则该三棱锥的四个面中面积的最大值为( )A. B.2 C. D.6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数,他们将1,3,6,10,15,…,,称为三角形数;将1,4,9,16,25,…,,称为正方形数.现从200以内的正方形数中任取2个,则其中至少有1个也是三角形数的概率为( )A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如图所示,则( )A. B. C. D.8.已知函数则( )A.在R上单调递增,且图象关于中心对称B.在R上单调递减,且图象关于中心对称C.在R上单调递减,且图象关于中心对称D.在R上单调递增,且图象关于中心对称9.已知,且,,则( )A. B. C. D.10.已知△ABC是面积为的等边三角形,且,其中实数x,y满足,则的最小值为( )A.4 B.5 C.6 D.711.已知平面四边形ABCD中,,现沿BD进行翻折,使得A到达的位置,连接,此时二面角为150°,则四面体外接球的半径为( )A. B. C. D.12.已知抛物线C:,,若直线过点P且与C交于A,两点,直线过点P且与C交于B,两点,且,,则△PAB的面积为( )A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中,的系数为______.14.曲线在x=0处的切线方程为______.15.已知双曲线C:的左焦点为,点P在圆:上,若线段FP恰好被C的一条渐近线垂直平分,则C的离心率为______.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=3,,则△ABC的面积与周长之比的取值范围是______. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知正项数列的前n项和为,,且.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.18.(12分)如图所示,在多面体ABCDFE中,AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ABEF,AB=AD=AF=2EF=2CD,∠CDA=∠AFE=90°,M,N分别为线段BE,CE的中点.(1)求证:FA⊥MN;(2)求平面BDF与平面BEF所成锐二面角的余弦值.19.(12分)某地的水果店老板记录了过去100天A类水果的日需求量x(单位:箱),整理得到数据如下表所示.x2223242526频数2020301812其中每箱A类水果的进货价为50元,出售价为100元,如果当天卖不完,就将剩下的A类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业,以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率.(1)如果某天的进货量为24箱,用X表示该水果店当天卖出A类水果所获得的利润,求X的分布列与数学期望;(2)如果店老板计划某天购进24箱或25箱的A类水果,请以当天利润的期望作为决策依据,判断应当购进24箱还是25箱.20.(12分)已知椭圆C:的上顶点为M,右焦点为F,且,直线MF的倾斜角为.(1)求C的标准方程;(2)若直线l与C交于,两点,其中,且直线MP,MQ的斜率之和为2,探究:l是否过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.21.(12分)已知函数.(1)若a=0,求的极值;(2)若不等式对恒成立,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,为l的倾斜角).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)求l的极坐标方程以及C的直角坐标方程;(2)若l过点,且与C交于M,N两点,求的值.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】已知函数.(1)求不等式的解集;(2)记的最小值为m,若正数a,b,c满足,比较与的大小关系,并说明理由.
江西省2022届高三下学期4月二轮复习验收考试数学(理)参考答案1.【答案】A【解析】依题意,,故的虚部为.故选A.2.【答案】C【解析】依题意,,而,故,得,故选C.3.【答案】C【解析】依题意,所求中位数为,故选C.4.【答案】B【解析】令x=0,可知成立,即p为真命题;若与相互垂直,则,解得,故q为假命题,则为真命题,故选B.5.【答案】B【解析】该三棱锥的四个面的面积分别为,,,,故最大值为2,故选B.6.【答案】A【解析】令,因为,故200以内的正方形数有14个,200以内既是正方形数又是三角形数的仅有1与36.故所求概率,故选A.7.【答案】B【解析】由图可知,,解得T=2,故,则;而,故,解得,又,得,故选B.8.【答案】D【解析】由题意可得,故图象关于中心对称,观察且结合解析式知在R上单调递增,故选D.9.【答案】C【解析】依题意,,解得,,故,而,,解得,故选C.10.【答案】B【解析】依题意,解得AB=4,延长AC至M,使得;因为,所以点D在直线BM上,取线段AC的中点O,连接OD,则,显然当OD⊥BM时,有最小值3,所以,故的最小值为5,故选B.11.【答案】C【解析】取BD的中点E,连接,CE,因为BD=4,,所以∠BCD=90°,所以△BCD外接圆的圆心为E,设外接圆的圆心为,则,过点,E分别作平面,平面BDC的垂线,交于点O,则O即为四面体外接球的球心.因为二面角的平面角为150°,即,则.在中,,连接OB,则OB即为外接球的半径R,则,即,故选C.12.【答案】B【解析】设,,由知,点的坐标为,又点在抛物线上,所以,结合整理得,同理,可得,所以,是关于y的方程的两个不相等的根,所以,,设AB的中点为Q,则,,于是,故选B.13.【答案】-540【解析】依题意,含的项为.14.【答案】2x+y-1=0【解析】当x=0时,y=1,而,故,故所求切线方程为y-1=-2x,即2x+y-1=0.15.【答案】2【解析】由题意,圆心为C的右焦点,,不妨设点P在第一象限,则,所以直线PF的斜率,从而,,故C的离心率.16.【答案】【解析】由正弦定理得,,即,即,即,因为,所以;由余弦定理可得,所以(*).△ABC的周长l=a+b+c=3+b+c,面积,所以;因为,所以由(*)式可得,即,当且仅当b=c=3时等号成立,故△ABC的面积与周长之比的取值范围是.17.解:(1)令m=n=1,得,又,解得(负值舍去),,(2分)令m=1,得,所以,所以是以3为首项,3为公比的等比数列,(5分)所以.(6分)(2)由(1)可得,,所以,所以,(7分)两式相减得,,(10分)所以.(12分)18.(1)证明:因为AB∥EF,∠AFE=90°,所以FA⊥AB;(1分)又平面ABCD⊥平面ABEF,平面平面ABEF=AB,平面ABEF,所以FA⊥平面ABCD;(2分)因为平面ABCD,故FA⊥BC;(3分)因为M,N分别为线段BE,CE的中点,故MN∥BC,故FA⊥MN.(4分)(2)解:因为FA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以FA⊥AD,又∠BAD=90°,所以FA,AD,AB两两互相垂直.如图以A为原点,AD,AB,AF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.(5分)设AB=AD=AF=2,CD=EF=1,则,,,,,(6分)设为平面BDF的一个法向量,则,即,令x=1,则y=1,z=1,所以,(8分)易知为平面BEF的一个法向量,(9分)则,(11分)即平面BDF与平面BEF所成锐二面角的余弦值为.(12分)19.解:(1)若x=24,25,26,则,故;(1分)若x=23,则,故;(2分)若x=22,则,故,(3分)故X的分布列为X104011201200P0.20.20.6(4分)故.(5分)(2)记当天进货量为25箱时卖出A类水果所获得的利润为Y,若x=25,26,则,;(6分)若x=24,则,故;(7分)若x=23,则,故;(8分)若x=22,则,故,(9分)因为,(11分)因为,所以应当购进24箱.(12分)20.解:(1)依题意,(1分)解得b=1,,(3分)故C的标准方程为.(4分)(2)l经过定点,证明如下:由(1)可知C:.(5分)①当l的斜率存在时,设l:,由,得(7分)则,由题知,,则,,(8分)则,解得t=k-1,(9分)所以l的方程为y=kx+k-1,即,所以l经过定点.(11分)②当l的斜率不存在时,设l:,设,,则,解得m=-1,此时l也经过定点.综上所述,l经过定点.(12分)21.解:(1)依题意,,,令,解得;(1分)故当时,,当时,,故的单调递减区间为,单调递增区间为,(3分)故的极小值为,无极大值.(4分)(2)依题意,,即,设,则,且,(5分)则,(6分)且,,,(7分)∵,则在上单调递增,(8分)当时,,由于在上单调递增,则当时,,则在上单调递增,故,则在上单调递增,故,符合题意;(9分)当时,,由于在上单调递增,,故必然存在,使得当时,,则在上单调递减,故当时,,则在上单调递减,则当时,,不符合题意,(11分)综上所述,a的取值范围为.(12分)22.解:(1)因为l过原点,且为l的倾斜角,故l的极坐标方程为;(2分)因为,由,,得C的直角坐标方程为,即.(5分)(2)因为对应的极坐标为,(6分)所以l的极坐标方程为,(7分)代入,得,设,,所以.(10分)23.解:(1)依题意,(2分)故或或(3分)解得或或,(4分)故不等式的解集为.(5分)(2)依题意,,则a+b+c=2.(6分)下面证明:,(7分)∵a+b+c=2,且a,b,c均为正数,∴,∴,当且仅当a=1,时等号成立,(9分)即.(10分)
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