2022届江苏省苏南三校高三下学期2月阶段调研数学试题含解析

这是一份2022届江苏省苏南三校高三下学期2月阶段调研数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届江苏省苏南三校高三下学期2月阶段调研数学试题一、单选题1．已知全集为R，集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的关系与运算依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为，，故集合不存在包含关系，故A,B选项错误；对于C选项，，故错误；对于D选项，，故D选项正确.故选：D2．已知，为单位向量，且，则，的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对左右两边同时平方进行化简，即可求出答案.【详解】把左右两边同时平方得：，由于，为单位向量，.故，的夹角为.故选：C.3．已知函数，则函数的大致图象为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，以及上函数值的符号，应用排除法即可确定图象.【详解】由解析式知：，即是奇函数，排除B，D；当时，，排除A.故选：C.4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（       ）A．100 B．110 C．120 D．130【答案】C【解析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列是等差数列，利用等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：，，因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为，因此有，所以这五层正六边形的周长总和为.故选：C.5．随机变量服从正态分布，若，，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】，，，即，，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，6．在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根据双曲线的定义求解出，然后根据正弦定理进行边角互化结合线段长度求解出的值.【详解】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；又因为，所以由正弦定理得，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在利用正弦定理将变形为边的形式，然后可根据所给长度求解出结果.7．已知函数，把函数的图象向右平移得到函数的图象，函数在区间上单调递减，在上单调递增，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先由平移得到的解析式，令，，利用的单调性结合的单调性即可得到答案.【详解】解析：由题意可知，令，则，当上时为减函数，当上时为增函数.又因为在上单调递减，在上单调递增，所以当即时，所以，.故选：B.8．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】将给定等式变形并构造函数，由函数的图象与垂直于y轴的直线有两个公共点推理作答.【详解】因，令，则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，，，而，当时，，函数在上单调递增，则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，当时，由得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，令，，令，则，即在上单调递增，，即，在上单调递增，则有当时，，，而函数在上单调递增，取，则，而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及双变量的等式或不等式问题，把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.二、多选题9．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（       ）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠【答案】BC【分析】根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项正确.从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.故选：BC10．若定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（       ）A．在上单调递增 B．为偶函数C．的最小正周期 D．所有零点的集合为【答案】BCD【分析】题目考察函数奇偶性，周期性和对称性的综合应用，结合函数的三个性质，根据时，可以得到函数在上的函数性质，从而判断各选项的正确性【详解】由题得：，令，则，所以，所以的最小正周期，故C正确；当时，，因为为定义在R上的奇函数，所以当时，，所以在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递减，故A错误；当时，，结合周期性可得：，故D正确；由得：图像关于对称，是将图像向左平移一个单位得到的，所以图像关于轴对称，所以是偶函数，故B选项正确；故选：BCD11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线M：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过M上的点反射，再经M上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则(     )A．B．C．PB平分D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线【答案】ACD【分析】A：根据题意求出A的坐标，根据题意知AB过焦点，据此求出AB方程，联立直线AB方程和抛物线方程根据韦达定理可得；B：根据弦长公式可求；C：求出，由得，再由得，由此即可判断；D：求出B点纵坐标；求出AO方程，与联立求出C点坐标；比较C，B，Q纵坐标即可得答案.【详解】设，，，，∵轴，且过点，，∴，把代入抛物线的方程，解得，即，由题知，直线经过焦点F，，，直线的方程为，即，联立，得，∴，，故A正确；，故B错误；，∴，由光学性质可知轴，轴，∴，∴，∴，即平分，故C正确；∵，，∴，直线的方程为，由，解得，∴，，∴，，三点纵坐标都相同，∴，，三点共线，故D正确．故选：ACD．12．若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（     ）A．数列为等比数列 B．数列单调递增C． D．数列的前项和为，则.【答案】AC【分析】根据定义结合对数的运算性质和错位相减求和，依次判断各选项即可得出结果.【详解】因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故A正确；因为，所以数列不是单调递增数列，故B错误；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故C正确；因为，所以设，则所以，所以，从而数列的前项和为，故D错误.故选：AC.三、填空题13．已知复数，满足，则__________．【答案】【详解】分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值．详解：设 因为所以 即化简得 点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．14．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时.【答案】【分析】根据第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，求得，然后将代入求解.【详解】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，，所以，解得.又，解得，所以，所以当时，.故答案为：15．在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________.【答案】【分析】结合两角和的正弦、余弦公式求得正确答案.【详解】设，，，所以，.设，则，.所以点的坐标为.故答案为：16．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点.设异面直线与所成的角为，则的最大值为____【答案】【分析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，，由向量法可得，令，，，利用导数研究函数的单调性即可求得的最大值，从而可得答案．【详解】解：由题意，根据已知条件，直线AB，AD，AQ两两互相垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则，0，，，0，，，1，，设，，，，，，，，，，，令，，则，函数在上单调递减，时，函数取得最大值，的最大值为．故答案为：．四、解答题17．已知等比数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)在数列中的和之间插入i个数，，，…，，使，，，，…，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前n项和为，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，然后利用条件可求，即得；（2）由题可得，然后利用等差数列的性质求和即得.【详解】(1)设等比数列的公比为q,∵，，∴，即，∴，即，∴数列的通项公式为.(2)因为在数列中的和之间插入i个数，则在列的前21项中，就是在到每两项之间各插入一组数，共插入五组，数列的前21项为∴.18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．(1)求B；(2)设D是AB边上点，且，求证：．【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）利用同角关系式及正弦定理即求；（2）利用和角公式可得，然后利用正弦定理可得，再利用向量法求得，即证.【详解】(1)∵在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，∴，又，，∴，又，，∴；(2)∵，∴，∵，，∴，∴，∴.19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据题意得，，，进而得，，故平面，进而得平面平面.（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据几何关系得 ，进而利用坐标运算得平面的一个法向量为，，故根据解得或（舍），故.【详解】解：（1）在中，因为，，，所以.因为点是的中点，所以.在中，，，，由余弦定理，有，所以，所以.在中，，，，满足，所以.而，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，有，，.设，，平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.在中，，而，得，所以.因为，，，所以.因为，所以，得，所以或（舍）.所以.【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角的法向量求解，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题第二问题解题的关键是建立坐标系，根据设，根据几何关系得，进而求得平面的一个法向量为，，再根据求解即可得答案.20．某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）【答案】（1）     （2）应选用【解析】（1）分析可得随机变量满足二项分布,求得时的概率即可；（2）由（1）,并分别求得,,时的概率,由题意得到不同方案下实际获利并求得期望,比较大小即可【详解】解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为,则,因此（2）①当时,设该企业每月的实际获利为万元,若,则；   若,则；若,则；若,则； 又,,,此时,实际获利的均值②当时,设该企业每月的实际获利为万元,若,则；若,则；若,则；若,则； 因为,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用【点睛】本题考查二项分布的应用,考查期望的计算,考查数据处理能力与运算能力21．已知函数，其中(1)当时，证明(2)若存在实数b，使得在上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构造函数，，利用导数证明不等式即可； （2）由导数得出，再由得出a的取值范围.【详解】(1)当时，令，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.所以，即（当且仅当时，等号成立）令，则，当时，，当时，所以在单调递减，在单调递增.所以，即（当且仅当时，等号成立）.所以即(2)①当时，在单调递增， 在单调递增，，所以，不存在实数b满足题意.②当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，.当时，，当时，所以，在单调递增，在单调递减..令，则，所以，解得综上，a的取值范围为【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数（1）若，总有成立，故（2）若，总有成立，故22．在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点为，上顶点满足.(1)求的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点.设直线和直线相交于点，直线和直线相交于点，直线与轴交于.证明：是定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题知，进而根据得，进而得答案；（2），直线的方程为，进而与椭圆方程连理并结合韦达定理得，再根据题意，求出直线和的方程并联立得，故点总在直线上，同理得直线的方程为，故，，进而结合韦达定理结论得【详解】(1)解：由题，，所以，解得.所以的标准方程为.(2)解：设，直线的方程为.联立直线与椭圆的方程，消得，从而由韦达定理得.                      由(1)知，所以直线和的方程分别为联立直线和，可得交点的横坐标满足，解得，即点总在直线上.同理可得点也在直线上，所以直线的方程为.       因为，所以，其中分别为点，点的纵坐标.联立直线和直线，得;联立直线和直线，得.所以为定值.