2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测数学试题含解析

这是一份2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测数学试题一、单选题1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.【详解】由题知：图中阴影部分表示，，则.故选：A2．的展开式中的系数为（       ）A． B．24 C． D．60【答案】D【分析】利用展开式的通项公式即得.【详解】由题可得展开式的通项公式为，故的展开式中的系数为60.故选：D.3．“”是“复数为纯虚数”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.【详解】当时，，则为纯虚数可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；当复数为纯虚数时，，解得：可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件；综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件故选：C4．双曲线的离心率为（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】将双曲线方程化为标准形式，直接求离心率即可.【详解】由题意知：，故离心率为.故选：D.5．已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为（       ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B【分析】利用原则，分别求出的值，再利用对称性求出.【详解】正态分布中，，所以，，所以.故选：B.6．函数在上的图象如图所示，则的解析式可能是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由为偶函数，可排除A；当时，，可排除C；当时，函数，可排除D，即可求解.【详解】由函数图像知，为偶函数， 对于A中，函数为非奇非偶函数，所以可排除A项；对于C中，当时，，当时，取得最小值，不符合题意，排除C项；对于D中，函数，当时，函数，可排除D项；综上可得，只有选项B符合题意.故选：B.7．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（       ）A． B．直线与直线的斜率之积为C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为【答案】D【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，，故A错误；对选项B，设，则，，，，则，故B错误.对选项C，因为椭圆，，，，所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误；对选项D，，则，则，解得，故D正确.故选：D8．已知，则下列大小关系中正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】A.构造函数，利用其单调性比较大小；B.构造函数，利用其单调性比较大小；C.构造函数及函数，利用其单调性比较大小；D.将转化为，判断的大小关系即可.【详解】，则，且，A.因为函数在上单调递减，故，A错误；B.因为函数在上单调递减，故，B错误；C.因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，C正确；D.，又，，D错误；故选：C. 二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．B．是图象的一条对称轴C．的最小正周期为D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称【答案】AC【分析】变形得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.【详解】，A正确；，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；，C正确；将的图象向左平移个单位后得，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.故选：AC.10．已知，则下列结论正确的是（ ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AD【分析】A.根据，利用“1”的代换，利用基本不等式求解判断； B. 根据，转化为二次函数求解判断； C. 由，得到，再利用对数运算求解判断； D. 根据，利用基本不等式求解判断.【详解】A.因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；B. 因为，所以，所以，当时，取得最小值，故错误；C. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为，故错误；D. 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故正确；故选：AD11．已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（       ）A．圆恒过原点B．圆与圆内切C．直线被圆所截得弦长的最大值为D．直线与圆相离【答案】ABC【分析】A.代入点可判断；B.计算圆心距离与半径差的大小关系；C.利用垂径定理求弦长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断.【详解】A.代入点得恒成立，A正确；B.，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；C. 直线被圆所截得弦长为，，即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；D.圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，D错误；故选：ABC.12．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（       ）A．的取值范围是B．若与平面所成的角为，则C．若三棱锥的外接球表面积为，则，D．四面体的体积是定值【答案】BC【分析】利用空间向量数量积的定义可判断A选项的正误；利用线面角的定义可判断B选项的正误；利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断C选项的正误；利用锥体的体积公式可判断D选项的正误.【详解】在中，，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故A错误；由于面，所以与面所成的角为，所以，因为，所以，故B正确；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，线段的中点为，线段的中点为，设球心为，点，则，由可得，化简可得，则，易知，则，，因此，，C选项正确；因为直四棱柱，所以点到面的距离为1，所以，由于不为定值，得不为定值，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三、填空题13．命题“，”的否定为___________.【答案】，【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.【详解】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”.故答案为：，.14．已知，若，则________．【答案】2.5【分析】利用数量积为零可求，从而可求.【详解】因为，故，故，故，故答案为：15．已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为________．【答案】【分析】根据函数的对称性和零点，结合函数极大值点的定义进行求解即可.【详解】由，所以函数关于直线对称，于是有：，由，于是，解得，令，所以，令时，，，令时，，，因为在区间上有且只有一个极大值点，所以（为函数的最小正周期），因为，所以有，即，当时，，所以，此时有两个极大值点，不符合题意；当时，，此时此时有一个极大值点，符合题意，故答案为：【点睛】关键点睛：利用函数的对称性、零点、函数极值的定义和正弦函数的性质是解题的关键.四、双空题16．在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．【答案】          2024【分析】求出数列前若干项，根据其周期性可解.【详解】由，得，又，所以，，，，，可知数列为周期数列，周期为4，故.故答案为：；2024. 五、解答题17．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式;（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前项和，需采用分组求和法，即可求出前项和．【详解】(1)∵，①当时，，即当时，．②由①－②得，即∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．∴(2)由（1）知 ∴，∴．18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，，点D在边BC上，且，求线段AD的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简可得角；（2）中由余弦定理求得，再由余弦定理求得，然后在中由余弦定理求得．【详解】(1)在中，由正弦定理得       因为，代入得即．       又，所以．             又，所以．(2)在中，由余弦定理得所以，．             在中，由余弦定理得．             在中，由余弦定理得，所以．19．垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）： 能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分类总计55岁及以下903012055岁以上503080总计14060200（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？（2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和均值．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关；（2）答案见解析.【分析】（1）根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小，即得结论；（2）由条件可知，根据二项分布计算分布列和数学期望.【详解】解：（1）由列联表可知，因为，所以有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．（2）由题意可知，从该市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，不能正确进行垃圾分类的频率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123所以．【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并能判断变量服从二项分布.20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC.(1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值；(2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用坐标法，利用向量夹角公式即得；（2）利用线面角的向量求法，然后利用基本不等式即得.【详解】(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、，从而∴,即与所成角的余弦值为；(2)点在棱上，且，所以，于是，，又，．设为平面的法向量，则，可得，取，则，设直线与平面所成的角为，则令，则，所以，当，即时，有最小值，此时取得最大值为，即与平面所成的角最大，此时，即的值为．21．已知椭圆的离心率为，过的右顶点的直线与的另一交点为.当为的上顶点时，原点到的距离为.(1)求的标准方程；(2)过与垂直的直线交抛物线于两点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用点到直线距离、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；（2）当直线斜率为时，易求得；当直线斜率不为时，分别将直线与椭圆、直线与抛物线方程联立，求得，进而得到，采用换元法，令，利用导数可求得最小值；综合两种情况可得所求面积的最小值.【详解】(1)由题意知：，若为的上顶点，则，，即，原点到的距离，又离心率，，，，椭圆的标准方程为：.(2)由题意知：直线斜率存在；①当直线斜率为时，，；此时直线，则，，；②当直线斜率存在且不为时，，由得：，又，，则，；又直线，由得：，；的焦点为，，又，，设，则，，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即；综上所述：面积的最小值为.【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③结合弦长公式、点到直线距离公式等知识，利用变量表示出所求三角形的面积；④将所求三角形面积转化为关于变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.22．已知函数，其中.(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由函数在上单调递增，转化为在上恒成立.令，利用导数判断出在上单调递增，求出，即可求出的取值范围；(2)先判断出时有两个极值点，且.得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是.【详解】(1)因为，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以，即的取值范围是.(2).对函数，设上一点为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为所以，要使与有两个交点，则.此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即，所以，令，令，所以在上递增.因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.所以在上递增.又，所以当时，，所以的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．