2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二（创新班）下学期第一次质量检测数学试题含解析

2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二（创新班）下学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．设X为随机变量，，若随机变量X的期望为4，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由二项分布的期望公式得，求出的值，再利用二项分布的概率公式求解即可

【详解】由题知，解得，

所以，

故选： D.

2．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（       ）

A．144种 B．72种 C．36种 D．246种

【答案】A

【详解】甲乙相邻，看作一个整体，内部排列，他们两人都和丙不相邻，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之间或两边会出现四个空，将甲乙看作的一个人和丙选两空排列，

由此可知，不同的排法共有种,

故选:A

3．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（       ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

【答案】B

【分析】借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.

【详解】设事件为“第一次取红球”，事件为“第白次取红球”，则，

，故 ．

故选：B

4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(       )

A．2 B．1 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出，则.

【详解】的可能取值为.

，，.

∴的分布列为：

于是，

故.

故选：C.

5．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（       ）

A．2 B．3 C．2或3 D．4

【答案】B

【分析】求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案.

【详解】解：，

则，得，

所以当时，，

当时，，

从而时，取得最大值．

故选：B．

6．若，则（       ）

A．-448 B．-112 C．112 D．448

【答案】C

【分析】，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.

【详解】，.

故选：C.

7．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（       ）

A．0.01245 B．0.05786 C．0.02865 D．0.03745

【答案】D

【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解.

【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故

故选：D

8．袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】甲方案可看成3次独立重复试验，利用二项分布期望与方差公式可得；乙方案为不放回抽取，列取值、求概率、再求期望与方差，最后与甲方案比较.

【详解】由题意知，，故.

,则，，

，则，

.

则，.

故选：C.

【点睛】离散型随机变量分布列的求解：一要明确随机变量的可能取值有哪些且每一个取值所表示的意义；二要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率；三要利用分布列的性质检验分布列是否正确.

二、多选题

9．已知随机变量，则下列命题正确的有（       ）

A．

B．

C．若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数

D．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数

【答案】BC

【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断B，C；利用独立重复试验的意义判断C；

求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数X的概率判断D作答.

【详解】因随机变量，则，，A不正确，B正确；

甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，C正确；

对于D，依题意，，即时的概率随k值的变化而变化，不服从，D不正确.

故选：BC

10．下列关于说法正确的是（       ）

A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量

B．某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布

C．小赵.小钱.小孙.小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则

D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则

【答案】ACD

【分析】直接利用随机事件，两点分布的和二项分布的区别，条件概率的应用，相互独立事件的定义，逐项判断，即可得到结果．

【详解】对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；

对于B：某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从二项分布 而不是两点分布，故B错误；

对于C：小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，故 ，，所以 ，故C正确；

对于D，由于，所以，又，所以，故D正确.

故选：ACD.

11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（       ）

A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有48种

C．甲乙不相邻的排法种数为72种

D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

【答案】ACD

【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.

【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，

可将甲乙捆绑看成一个元素，

则不同的排法有种，故A正确；

对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，

最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，

最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故B不正确；

对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，

则有种，故C正确；

对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确．

故选：ACD．

12．关于，下列说法正确的是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对A，令，即可；对B，，即可；

对C，令，即可；对D，设，再求导代入即可

【详解】令，；       ①

令，；       ②

令，．       ③

由①，②可知，故A不正确；

由①，③可知，故B正确；

由②，③可知，故C正确．

设，

则，

令，，故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.

【答案】20

【分析】先求得，然后求得.

【详解】，

.

故答案为：

14．早晨慌乱起床，在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，恰为同一双的概率是____

【答案】0.2

【分析】根据题意可知在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只共有种，再根据古典概型，即可求出结果.

【详解】在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，共有种；

所以恰为同一双的概率为.

故答案为：.

15．若，且，则__________.

【答案】

【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出a.

【详解】由题意，为中的系数.

因为的二项展开式的通项公式为，

所以的展开式中含项的系数为：，解得：.

故答案为：

16．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：

①，；②；③；④.

其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)

【答案】①②④

【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.

【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．

∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.

又X的分布列

∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，

D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.

η的分布列为

∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，

D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.

∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．

故答案为：①②④.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，，且，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件建立方程组求解；（Ⅱ）借助题设条件运用裂项相消法求解．

试题解析：

（Ⅰ），．

，．

解得：，．

．

（Ⅱ）．

．

【解析】等差数列的通项和前项和等有关知识的综合运用．

18．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级.已知甲同学能答对其中的5道题.

(1)设甲同学答对题目的数量为，求的分布列，

(2)求甲同学能晋级的概率.

【答案】(1)分布列见解析

(2)

【分析】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求出的分布列，

（2）甲同学能晋级的概率，从而可求得结果

【详解】(1)由题意可知甲同学答对题目的数量的可能取值为0，1，2，3，则

，，

，，

所以的分布列为

(2)由题意可得甲同学能晋级的概率为

19．2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会采用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.

（1）在决赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？

（2）求比赛局数的分布列及数学期望.

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】（1）首先要确定中国队以3∶1获胜需要满足的条件，即前3局比赛中至少要胜2场，且第4局必胜，再利用独立事件的概率计算公式即可求解；（2）首先要确定比赛结果的各种情况（包含中国胜和韩国胜），在3∶1，3∶2这两种情况中要先确定哪局比赛输了再计算出相应的概率，从而得到比赛局数的分布列和数学期望.

【详解】解：（1）若中国队以3∶1获胜，则前三局中赢两局输局，第四局比赛胜利，设中国队以3∶1获胜为事件A，

则.

（2）设比赛局数为X，

则X的取值分别为3，4，5，

则，

，

，

则X的的分布列为

.

【点睛】本题考查独立事件的概率计算、随机变量的分布列与数学期望，考查考生的运算求解能力和数据处理能力，属于简单题.

20．已知抛物线上的点到焦点的距离为．

（1）求，的值；

（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】（1），．（2）直线过定点．

【详解】试题分析：（1）从题意出发，由抛物线的定义可得，再把点坐标代入抛物线方程可得值；（2）这是直线与抛物线相交问题，由于直线可能与轴垂直，因此设直线方程为，同时设，，由直线方程与抛物线方程联立可消去得的方程，从而可得，再由，可得，这样有，，直线方程为，可见它过定点．

试题解析：（1）由抛物线定义得，，即，

所以抛物线方程为，代入点，可解得．

（2）设直线的方程为，，，

联立，消元得，则，，

由，得，所以或（舍去），

即，即，所以直线的方程为，

所以直线过定点．

【解析】抛物线的定义，直线与抛物线相交问题，解析几何中的定点问题．

【名师点睛】每一个数学概念的定义都是我们研究相应问题的依据，对定义的理解决定了我们学习的深度和广度．圆锥曲线中出现了曲线上的点到焦点的距离，自然让我们联想到曲线的定义，对抛物线来讲，由定义可知抛物线上任意一点到焦点的距离为，在解抛物线问题时，经常用此结论．解析几何中直线与曲线的相交弦长问题，一般采用设而不求方法，即设交点为，则有弦长，其中为弦所在直线的斜率，利用此结论可以减少许多计算．解题时一定要注意．

21．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若函数，求证：当时，.

【答案】(1)极大值，无极小值．

(2)证明见解析

【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；

（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在上的单调性，进而证得结论．

【详解】(1)解：，．

令，解得．

在内是增函数，在内是减函数．

当时，取得极大值，无极小值．

(2)证明：，，

．

当时，，，从而，

，在是增函数．

，即当时，．

22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．

（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；

（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．

【分析】（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

（2）首先判断随机变量服从二项分布，再求其分布列和均值.

【详解】解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，

表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”，

依题意有

所求的概率为

（2）的可能值为，且

，

，

，

，

的分布列为

数学期望．