理科数学2022届高考考前冲刺卷（三）教师版

这是一份理科数学2022届高考考前冲刺卷（三）教师版试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知函数等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的模是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以复数z的模是1，故选D．
2．设集合，，若，
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，，，
，，满足题意，
则，故选B．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
可得
，
故选D．
4．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响．现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是（ ）
A．x，y之间呈正相关关系
B．
C．该回归直线一定经过点
D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件
【答案】C
【解析】因为，，
所以该回归直线一定经过点，故，解得，即A，B正确，C不正确；
将代入，得，
故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，D正确，
故选C．
5．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则，
所以，，，
设向量，则，
则，
所以，故选D．
6．已知正项等比数列的前n项和为，且，，则S40等于（ ）
A．B．400C．400或D．30或40
【答案】B
【解析】∵正项等比数列的前n项和为，
∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，
∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或 (舍)，
故，∴，故选B．
7．已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数，可得，
由，得或；由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在时有极大值2，在时有极小值，
作出函数与直线的图象，
由图可知，当时，函数有最小值，
当时，函数没有最小值，
故选D．
8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
【答案】D
【解析】因为，故可得，
根据余弦定理可得，故，
不妨取中点为，故，
故，
即边上的中线长为，故选D．
9．已知函数．若a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数有两个极值点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得有两个根，则有，解得，
a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，表示为，
有如下，共种情况，
其中满足的有，共6种情况，
则函数有两个极值点的概率为，即，故选C．
10．已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】如图，圆心为抛物线的焦点，
四边形的面积，
∴，
∴当最小时，即点M到准线的距离最小值为2，
∴，故选A．
11．在正四面体SABC中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点．则该正四面体的外接球被平面DEF所截的圆周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过点S作平面ABC，垂足为P，如图，
则点P必为△ABC的中心，则正四面体SABC外接球的球心必在线段SP上，
设图中点O为正四面体SABC外接球的球心，外接球半径为R，
由已知得，，
所以，解得．
因为D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，
所以点O到平面DEF的距离．
设截面圆的半径为r，则，解得，
所以截面圆的周长为，故选C．
12．已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，均为偶函数，故函数为偶函数，
，
令，，
，，
，故单调递增，即单调递增，
又，∴在上，恒成立，
故在上函数递增，且，
故函数在递减，在递增，且函数恒成立，
，，成等比数列，，
当，均为正数时，由均值不等式有，①，
当，均为负数时，由均值不等式有，②，
由①②有，
又，，互不相等，故，
故，，故选D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列的前项和，则数列的前10项和等于__________．
【答案】45
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，适合上式，所以当时，，
令，因为，所以数列是等差数列，首项为，
故数列的前10项和等于，
故答案为．
14．过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是___________．
【答案】或
【解析】可化为，
故圆心到直线距离，
若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意；
若直线斜率存在，设其方程为，，
，解得，
此时直线方程为，
故答案为或．
15．除以7的余数__________．
【答案】5
【解析】，
展开式中前10项都是7的倍数，
所以除以7后余数为，除以7的余数为5，
故答案为5．
16．已知函数，若函数
恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】，
当时，，函数为减函数；
当时，，，
和时，单增；时，单减，
，，
故的图象大致为：
令，则，
，，
当时，，，无零点；
当时，，，无零点；
当时，，，，则，
要使恰有4个不同的零点，
则，即，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为．
（1）若，求边c；
（2）若，求角C．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由余弦定理，，
故，
由于，，，则．
由正弦定理，得．
（2）由（1）知，故，
故，
则，故，
因为，所以，所以，解得．
18．（12分）2020年春季学期因受新冠肺炎疫情影响而延期开学，各校均开展了线上教学，并对线上教学效果进行了检测．某班50位学生地理检测成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、、．
（1）求图中的矩形高的值；
（2）根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数（精确到；
（3）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩不低于90分的人数记为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）众数为；中位数；（3）分布列见解析，．
【解析】（1）解：设图中的矩形高为，
则，解得．
（2）由直方图可知，其数据的众数为最高矩形的中间值，所以众数为，
设中位数为，则中位数左右两边的矩形面积相等，即左右频率各为，
故，解得．
（3）成绩不低于80分的学生有人，
其中成绩不低于90分的人数为人，
随机变量可取0，1，2，
，
分布列为：
．
19．（12分）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为和的中点，P为棱上的动点．
（1）是否存在点P使平面？若存在，求出满足条件时的长度并证明；
若不存在，请说明理由；
（2）当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小．
【答案】（1）存在，；（2）．
【解析】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
因E，F分别为和的中点，P为棱上的动点，
则，
设，，
，显然，即，
由，得，此时有，
而，且平面，因此平面，
所以存在点，使平面，．
（2）在（1）的空间直角坐标系中，，
令平面的法向量为，
则，令，得，
而平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
当且仅当时取“=”，因此，当，即时，，
，当且仅当时取“=”，
所以当，即时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小．
20．（12分）给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线，交“准圆”于点M，N，判断及线段是否都为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
【答案】（1）椭圆方程，“准圆”方程；（2），．
【解析】（1）由题意，，
抛物线方程为，“准圆”方程为．
（2）假设中有一条斜率不存在，不妨假设为，则与椭圆的切点为，
即的方程为或．
当时，与“准圆”的交点为或，此时的方程为或，
显然；
当的斜率都存在时，设，则，
设经过P点与椭圆相切的直线方程为，
由，得，
由并化简得……①，
设直线的斜率分别为，则和分别是①的两根，
根据韦达定理，有，故有，，
由于，P是“准圆”上的点，∴MN是“准圆”的直径，即，是定值，
综上，抛物线方程为，“准圆”方程为，，．
21．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）设的极小值为，求的最大值；
（2）若存在，使得，且，求的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）解：因为，则，所以单调递增，
又，所以存在唯一，使，即，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，
所以，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为1．
（2）解：不妨设，所以关于的方程有正实数解，
所以，即有正实数解，
设，
则，所以单调递增，
所以，
①当时，，所以单调递增，所以，不合题意；
②当时，存在，使得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以存在，使得，符合题意，
综上，的取值范围为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）过的直线与曲线交于，两点，求中点的极坐标方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为．
（2）曲线的方程为，所以圆心为，
设，过的直线与曲线交于，两点，所以，
则，，所以，
所以，所以中点的极坐标方程为，
化简为．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，；
当时，，解得；
当时，，解得（舍）；
当时，，解得，
的解集为．
（2）当时，，，
，解得，
，，，
即实数的取值范围为．
x
4
6
8
10
12
y
1
5
7
14
18
0
1
2