浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年毕业升学考试模拟卷数学卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（   ）

A．（1，1） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）

2．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是(      )

A．70° B．65° C．60° D．55°

3．化简的结果是（　　）

A． B． C． D．

4．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且，则（　　）

A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些

C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些

5．下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值大于2的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

7．有下列四种说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；

③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．

其中，错误的说法有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

8．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(      )

A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米

9．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．10° B．20° C．50° D．70°

10．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是(　　)

A．    B．    C．    D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，A、B是反比例函数y＝（k>0）图象上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝1．则k＝_______．

12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=__________°．

13．某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标

价为___________元.

14．若与是同类项，则的立方根是     ．

15．分解因式：=____

16．如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶点A测得族杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底端C的距离DC是20米，梯坎坡长BC是13米，梯坎坡度i=1：2.4，则大楼AB的高度的为_____米．

17．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是_____(填“甲”或“乙”)．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．

19．（5分）如图，已知点E,F分别是□ABCD的边BC,AD上的中点，且∠BAC=90°．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E

求证：△ACD≌△AED；若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

21．（10分）为了解某市市民上班时常用交通工具的状况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图：

根据以上统计图，解答下列问题：本次接受调查的市民共有　   人；扇形统计图中，扇形B的圆心角度数是　   ；请补全条形统计图；若该市“上班族”约有15万人，请估计乘公交车上班的人数．

22．（10分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．

（1）求x的取值范围；

（2）若∠CPN=60°，求x的值；

（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．

23．（12分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．

(1)试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率．

(2)求至少有一辆汽车向左转的概率．

24．（14分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．

【详解】

解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1），建立如下平面直角坐标系：

∴棋子“炮”的坐标为（2，1），

故答案为：B．

【点睛】

本题考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

2、B

【解析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．

【详解】

∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，

∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，

∴∠AA′C=45°，

∵∠1=20°，

∴∠B′A′C=45°-20°=25°，

∴∠A′B′C=90°-25°=65°，

∴∠B=65°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．

3、D

【解析】
将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.

【详解】

原式=×=×（+1）=2+.

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.

4、B

【解析】

试题解析：方差越小，波动越小.

数据B的波动小一些.

故选B.

点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5、D

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6、A

【解析】
根据绝对值的含义和求法，判断出绝对值等于2的数是﹣2和2，据此判断出绝对值等于2的点是哪个点即可．

【详解】

解：∵绝对值等于2的数是﹣2和2，

∴绝对值等于2的点是点A．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．

7、B

【解析】
根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．

【详解】

解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．

故选B．

【点睛】

本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．

8、C

【解析】

试题解析：在Rt△ABO中，

∵BO=30米，∠ABO为α，

∴AO=BOtanα=30tanα（米）．

故选C．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

9、B

【解析】
要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数.

【详解】

解：∵要使木条a与b平行，

∴∠1=∠2，

∴当∠1需变为50 º，

∴木条a至少旋转：70º-50º=20º.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.

10、C

【解析】

试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.

考点：简单几何体的三视图.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2

【解析】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E．

则AD∥BE，AD=2BE=，

∴B、E分别是AC、DC的中点．

∴△ADC∽△BEC，

∵BE：AD=1：2，

∴EC：CD=1：2，

∴EC=DE=a，

∴OC=3a，

又∵A（a， ），B（2a， ），

∴S△AOC=AD×CO=×3a× ==1，

解得：k=2．

12、1

【解析】

试题分析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=1°，故答案为1．

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．

13、28

【解析】

设标价为x元，那么0.9x-21=21×20%，x=28.

14、2．

【解析】

试题分析：若与是同类项，则：，解方程得：．∴=2﹣3×（﹣2）=8.8的立方根是2．故答案为2．

考点：2．立方根；2．合并同类项；3．解二元一次方程组；4．综合题．

15、x(y+2)(y-2)

【解析】
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

【详解】

原式=x（y2-4）=x（y+2）（y-2），

故答案为x（y+2）（y-2）.

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

16、42

【解析】
延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=12米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大楼AB的高度．

【详解】

延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：

则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：2.4，
∴BH：CH=1：2.4，
设BH=x米，则CH=2.4x米，
在Rt△BCH中，BC=13米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，
解得：x=5，
∴BH=5米，CH=12米，
∴BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°-45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=32（米），
∴AB=AG+BG=32+10=42（米）；
故答案为42

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．

17、甲．

【解析】

乙所得环数的平均数为：=5，

S2=[+++…+]

=[++++]

=16.4，

甲的方差＜乙的方差，所以甲较稳定.

故答案为甲.

点睛：要比较成绩稳定即比方差大小，方差越大，越不稳定；方差越小，越稳定.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）规则是公平的；

【解析】

试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；

（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．

试题解析：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，

所以P（小王）=；

（2）不公平，理由如下：

∵P（小王）=，P（小李）=，≠，

∴规则不公平．

点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19、（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；

（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，

∴AE=CE=BC．

同理，AF=CF=AD．

∴AF=CE．

∴四边形AECF是平行四边形．

∴平行四边形AECF是菱形．

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，

∴AC=5，AB=．

连接EF交于点O，

∴AC⊥EF于点O，点O是AC中点．

∴OE=．

∴EF=．

∴菱形AECF的面积是AC·EF=．

考点：1．菱形的性质和面积；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．

20、（1）见解析（2）BD=2

【解析】

解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．

∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．

（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．

∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．

∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．

（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．

（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

21、（1）1；（2）43.2°；（3）条形统计图如图所示：见解析；（4）估计乘公交车上班的人数为6万人．

【解析】
（1）根据D组人数以及百分比计算即可．

（2）根据圆心角度数＝360°×百分比计算即可．

（3）求出A，C两组人数画出条形图即可．

（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．

【详解】

（1）本次接受调查的市民共有：50÷25%＝1（人），

故答案为1．

（2）扇形统计图中，扇形B的圆心角度数＝360°×＝43.2°；

故答案为:43.2°

（3）C组人数＝1×40%＝80（人），A组人数＝1﹣24﹣80﹣50﹣16＝30（人）．

条形统计图如图所示：

（4）15×40%＝6（万人）．

答：估计乘公交车上班的人数为6万人．

【点睛】

本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22、（1）0≤x≤10；（1）x=6；（3）y=﹣πx1+54πx．

【解析】
（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；

（1）根据等边三角形的判定和性质即可求解；

（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．

【详解】

（1）∵BC=1分米，AC=CN+PN=11分米，

∴AB=AC﹣BC=10分米，

∴x的取值范围是：0≤x≤10；

（1）∵CN=PN，∠CPN=60°，

∴△PCN是等边三角形，

∴CP=6分米，

∴AP=AC﹣PC=6分米，

即当∠CPN=60°时，x=6；

（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H，

∵PM=PN=CM=CN，

∴四边形PNCM是菱形，

∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，

PB==6-，

在Rt△MBP中，PM=6分米，

∴MB1=PM1﹣PB1=61﹣（6﹣x）1=6x﹣x1．

∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，

∴EH=HF，EF⊥AC，

∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，

∴△CMB∽△CEH，

∴=，

∴，

∴EH1=9•MB1=9•（6x﹣x1），

∴y=π•EH1=9π（6x﹣x1），

即y=﹣πx1+54πx．

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的应用以及菱形的性质和二次函数的应用，难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．

23、 (1)；(2)．

【解析】
（1）可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式计算可得；

（2）根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案．

【详解】

(1)画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有4种结果，

所以两辆汽车都不直行的概率为；

(2)由(1)中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等

∴P（至少有一辆汽车向左转）=．

【点睛】

此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．

24、（1）证明见解析（2）1

【解析】
（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；

（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=1可得答案．

【详解】

（1）连接OC．

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．

在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．

∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．

（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．

∵AB=10，∴OC=1．

由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB=1．

【点睛】

本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．