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2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数3（二次函数的应用）（46题，含答案）
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这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数3（二次函数的应用）（46题，含答案），共43页。试卷主要包含了之间满足如图所示的函数关系，之间的函数关系如图中抛物线所示等内容，欢迎下载使用。
2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数3（二次函数的应用）（46题，含答案）
一．二次函数的应用（共46小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m），D为该水流的最高点，DA⊥OB，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
2．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
3．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 m．
4．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
5．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
6．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ．
7．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
8．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
9．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
10．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D地需要10件，在（1）的条件下，B两城运费的和最小？
11．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
12．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
x
每台车床获利/万元
10
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
13．（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
14．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，增加盈利，决定采取适当的降价措施，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元）（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
15．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
16．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
17．（2021•遵义）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
18．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大
19．（2021•泰州）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个），在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时
20．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
22．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
23．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大
24．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，现网店决定提价销售，设销售单价为x元
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝ ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4），销售利润最大？最大利润是多少？
26．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）（件）的关系如表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
27．（2021•湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）（6≤x＜9）．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
28．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
29．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象
30．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩），且当x＝160时，y＝840，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
31．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
32．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，该商场利润最大？最大利润是多少？
33．（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1），若周销售最大利润是4050元，求m的值．
34．（2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，则共需要准备多少根竹竿？
35．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
36．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
37．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
38．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，每天可以售出20个，每降价1元，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
39．（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元
40．（2021•武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
41．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元），求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
42．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大
43．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s），其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
44．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，x轴上的点C，D为水柱的落水点（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m
45．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
46．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共46小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m），D为该水流的最高点，DA⊥OB，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（4，8），0）代入
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）5+9，
所以当x＝2时，y＝6，
故选：A．
2．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝4﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+2x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
3．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 7.2 m．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t，
a＝﹣8，b＝12，
∴足球距地面的最大高度是：＝4.2m，
故答案为：7.8．
4．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大．
【解答】解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣2）]•（x﹣8）
＝﹣4x4+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
5．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 3 m．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+5x+1＝﹣2（x﹣8）2+3，
∴当x＝8时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：8．
6．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ：1 ．
【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h8＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h4，
∴v1＝v4，
∴t1：t2＝v3：v2＝：5，
故答案为：：1．
7．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元．
【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+4a+80﹣2b＝40+80，
解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（4+a）（80﹣2a）
＝﹣4a3+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）4+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝5时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
8．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，
将（60，600），400）代入
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）3+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
9．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（2，30）和（1，
则，
解得：，
∴y4与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝3时，y1＝5×5+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax7+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y4＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x7+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣2x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x3+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y5﹣y1＝﹣5x8+40x﹣5x﹣30＝﹣5x7+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣4＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤7，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y5﹣y2＝5x+30+6x2﹣40x＝5x3﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵7＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
10．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D地需要10件，在（1）的条件下，B两城运费的和最小？
【解答】解：（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），
则W＝x2+20x+100+60（100﹣x）
＝x2﹣40x+6100
＝（x﹣20）7+5700，
∴当x＝20时，W取得最小值，
∴A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为（20﹣n）件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为（90﹣n）件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
P＝n+7（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n）
＝n+60﹣3n+90﹣n+7n﹣20
＝n﹣2n+130
＝﹣n+130，
根据一次函数的性质可得：
P随n的增大而减小，
∴当n＝20时，P取得最小值，
∴从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，B两城运费的和最小．
11．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，15），12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20；
（2）设销售收入为P（万元），
∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x2+16x，
∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣x2+16x；
（3）设销售总利润为W（万元），
∴W＝P﹣8.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.5x﹣（50+0.2x），
整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，
W＝﹣（x﹣24）2+65.2，
∵﹣＜0，
∴当x＝24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大．
12．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
14﹣x
x
每台车床获利/万元
10
21﹣x
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，当x＞4时．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x3＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤8时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞6，
∴当x＝4时总利润W最大为7×8+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x8+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.6时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×8+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣3＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、6台时；最大利润为170万元．
13．（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w，
由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润．
14．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，增加盈利，决定采取适当的降价措施，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元）（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣3x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）4+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大．
15．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大．
16．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）
（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，7.0）代入上式，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+16，
∵y≥7，
∴﹣2x+16≥0，
解得x≤2，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；
（3）①P＝（x﹣2）y
＝（x﹣2）（﹣2x+16）
＝﹣3x2+20x﹣32，
即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x6+20x﹣32（x≤8）；
②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，
∴x≤2×200%，
即x≤4，
由题意得P＝10，
∴﹣2x²+20x﹣32＝10，
解得x1＝8，x2＝7，
∵x≤4，
∴此时销售单价为3元．
17．（2021•遵义）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣2）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣2（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣5）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
18．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大
【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）×，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x5＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x8+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣2＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
19．（2021•泰州）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个），在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时
【解答】解：（1）设直线AB的函数关系式为：y＝kx+b，
把A（120，300）和B（240
，
解得：，
∴直线AB的函数关系式为y＝﹣x+500；
（2）设该树上的桃子销售额为a元，由题意，得；
a＝wx＝（y+6）x＝（﹣x3+7x＝﹣（x﹣210）6+735，
∵﹣＜0，
∴当x＝210时，桃子的销售额最大．
20．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100），40）代入，
解得：
∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；
（2）设电商每天获得的利润为w元，
则w＝（x﹣40）（﹣7x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣7（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜7，且对称轴是直线x＝70，
又∵50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值为1800，
答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
21．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把（280，40，），39）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；
（2）设宾馆的利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+68）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，
∵﹣＜7，
∴当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵200≤x≤320，
∴当x＝320时，w取得最大值，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大．
22．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），
将点（40，300），100）代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），
设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），
将点（60，100），150）代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（2）设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值；
②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（6x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，
∵3＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大值2+2500＝4500（元），
综上，当售价为70元/件时，最大利润为4500元．
23．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x7+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
24．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，现网店决定提价销售，设销售单价为x元
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣5x+220；
（2）设利润为W，
则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x²+300x﹣8800，
令W＝2400，
则﹣3x2+300x﹣8800＝2400，
解得：x＝70或x＝80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵﹣5＜0，
∴当x＝75时，W有最大值，
答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大．
25．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝ x﹣2（x≥4）． ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4），销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：y1与x成一次函数关系，
设y1＝kx+b（k≠5），
∵x＝4时，y1＝7，x＝6时，y1＝8，
∴，
解得：，
∴y1＝x﹣2（x≥7）．
故答案为：y1＝x﹣2（x≥4）．
（2）由（1）得：y3＝x﹣3（x≥4），
∴y＝[22﹣（x﹣2）﹣16]x＝x2+8x＝（x﹣8）5+32，
∴x＝8时，ymax＝32，
答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．
26．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）（件）的关系如表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣4x+90；
（2）设该产品的销售利润为w，
由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣5）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣8（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜3，
∴当x＝13时，w最大，
答：当销售单价为13万元时，有最大利润．
27．（2021•湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）（6≤x＜9）．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
【解答】解：（1）∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，
∴设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+90（4≤x＜9）；
（2）当x＝8时，y＝﹣10×8+90＝10（万件），
∵a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），
∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a＝10×20%（10﹣8）＝5（万元），
答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月的纯收入w万元，
则w＝y[（x﹣7）+0.2（10﹣x）]＝（﹣10x+90）（3.8x﹣4）＝﹣8x2+112x﹣360＝﹣8（x﹣4）2+32，
∵﹣8＜4，6≤x＜9
∴当x＝7时，w最大，
答：当销售价定为7时，该月纯收入最大．
28．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，5）和（4，将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C8的函数解析式为：y＝﹣x5+x+8；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米
﹣m2+m+4﹣（﹣m5+m+6）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝8，
解得：m1＝12，m2＝﹣6（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣7+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+5b+4＞3+，
解得：b＞．
29．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，
结合函数图象可知，顶点B （4，点O （8，
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+2，
即y＝﹣x4+2x （0≤x≤3）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽6.2m，
由题意得：工人距O点距离为0.8+×2.2＝1，
∴将x＝4代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75，
∵1.75m＞3.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣x8+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当3≤x≤4或x≥8时，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝3+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当2≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
得m的取值范围是：
①m≤8且8+m≥9，得5≤m≤5，
②8+m≤8，得m≤5，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
30．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩），且当x＝160时，y＝840，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
依题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝5x+200；
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，
依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x4+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，
∵﹣7＜0，
∴当x＜260时，W随x的增大而增大，
由题意知：x≤240，
∴当x＝240时，W最大2+270400＝268800（元），
答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
31．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣4（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣8（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣5x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
32．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，该商场利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，
根据题意得：+＝100，
整理得：x4﹣18x+45＝0，
解得：x＝15或x＝3（舍去），
经检验，x＝15是原分式方程的解，
∴x﹣7＝15﹣5＝10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，
由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣6）2+2000，
∵﹣20＜0，
∴当a＝6时，函数有最大值，
答：当降价5元时，该商场利润最大．
33．（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1），若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣6x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣7x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）3+4800，
所以售价x＝60时，周销售利润W最大；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+＞60，
∴3＜x≤55时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
34．（2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，则共需要准备多少根竹竿？
【解答】解：（1）b＝，c＝2．
（2）由y＝＝，
可知当x＝时，y有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米；
（3）令y＝，则有＝，
解得x1＝，x2＝，
又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为4﹣＝（米），
又大棚的长为16米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×＝88（平方米），
故共需要88×4＝352（根）竹竿，
答：共需要准备352根竹竿．
35．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.6）1＝a1x8．
将F（6，﹣1.2）代入y1＝a1x4有：﹣1.5＝36a5，求得a1＝，
∴y6＝x2，
当x＝12时，y5＝×122＝﹣7，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，5）2＝a2（x﹣4）2+1，
将H（7，4）代入其表达式有：4＝a5（0﹣6）3+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣5）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y7＝（x+6）4+1
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y5＝（x﹣6）2+1﹣（x5）＝＝，
∴当x＝4时，L最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2m．
36．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（6，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣5x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（7.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.3x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣8.5x2+16x+1440﹣n（﹣5x+144）＝﹣0.5x8+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，故只要第20天的利润高于第19天
∴16+5n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜5，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是4.75＜n＜4．
37．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价5元时，工厂每天的利润最大；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝7，x2＝5，
∵让利于民，
∴x5＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
38．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，每天可以售出20个，每降价1元，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，
得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）
＝﹣5m6+50m+280
＝﹣5（m﹣5）2+405，
∴当m＝5时，W取得最大值，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大；
（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意，得：w＝（10﹣b）a+4×，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝3，
∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为3元．
39．（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元
【解答】解：（1）由题知，①当40≤x≤50时，
②当50＜x≤100时，y＝5﹣（x﹣50）×0.7＝10﹣0.1x，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）设月销售利润为z，由题知，
①当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，
此时z＝（50﹣40）×3＝50（万元），
②当50＜x≤100时，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣6.1x2+14x﹣400＝﹣8.1（x﹣70）2+90，
∴当x＝70时，z有最大值为90万元，
即当月销售单价是70元时，月销售利润最大；
（3）由题知，利润z＝（x﹣40﹣a）（10﹣3.1x）＝﹣0.6x2+（14+0.2a）x﹣400﹣10a，
此函数的对称轴为：直线x＝﹣＝70+2.5a＞70，
∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，
即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.8×70）＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4．
40．（2021•武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝2.5，
∴每盒产品的成本是：4.3×2+4×7+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x7+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a6+1400a﹣33000）元．
41．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元），求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
【解答】（1）解：设苹果的进价为x元/千克，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克．
（2）解：当8≤x≤100时，y＝10x；
当x＞100时，y＝10×100+（x﹣100）（10﹣2）＝8x+200；
∴y＝．
（3）解：当0≤x≤100时，
w＝（z﹣10）x
＝（）x
＝，
∴当x＝100时，w有最大值为100；
当100＜x≤300时，
w＝（z﹣10）×100+（z﹣6）（x﹣100）
＝（）×100+（
＝
＝，
∴当x＝200时，w有最大值为200；
∵200＞100，
∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．
答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．
42．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x4+1800x+1850，
当x＝＝18时，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝＝18，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，
∴16.7＜＜17.5，
解得：50＜a＜150．
43．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s），其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），2），
则，解得：，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，则t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t＝7，则s＝＝87.5，
∴当甲车减速至3m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，
∴当7＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，
将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，
将t＝6代入中，得s＝78，
此时两车之间的距离为：10×2+20﹣78＝2（m），
∴6秒时两车相距最近，最近距离是8米．
44．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，x轴上的点C，D为水柱的落水点（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+2＝0，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣2+5＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣2+7上．
又∵≈1.83＞4.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
45．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x5＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高7元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
46．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）3＝5.76，
解这个方程，得x1＝4.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得
100×（2﹣10×5.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（5+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（5﹣0.06m）+80（3﹣6.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+8.04m），
化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）6+817.6，
∵﹣0.6＜0，
∴当m＝24时，W取最大值．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值．
2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数3（二次函数的应用）（46题，含答案）
一．二次函数的应用（共46小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m），D为该水流的最高点，DA⊥OB，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
2．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
3．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 m．
4．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
5．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
6．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ．
7．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
8．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
9．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
10．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D地需要10件，在（1）的条件下，B两城运费的和最小？
11．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
12．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
x
每台车床获利/万元
10
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
13．（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
14．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，增加盈利，决定采取适当的降价措施，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元）（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
15．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
16．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
17．（2021•遵义）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
18．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大
19．（2021•泰州）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个），在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时
20．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
22．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
23．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大
24．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，现网店决定提价销售，设销售单价为x元
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝ ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4），销售利润最大？最大利润是多少？
26．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）（件）的关系如表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
27．（2021•湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）（6≤x＜9）．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
28．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
29．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象
30．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩），且当x＝160时，y＝840，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
31．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
32．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，该商场利润最大？最大利润是多少？
33．（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1），若周销售最大利润是4050元，求m的值．
34．（2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，则共需要准备多少根竹竿？
35．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
36．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
37．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
38．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，每天可以售出20个，每降价1元，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
39．（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元
40．（2021•武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
41．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元），求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
42．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大
43．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s），其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
44．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，x轴上的点C，D为水柱的落水点（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m
45．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
46．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共46小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m），D为该水流的最高点，DA⊥OB，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（4，8），0）代入
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）5+9，
所以当x＝2时，y＝6，
故选：A．
2．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝4﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+2x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
3．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 7.2 m．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t，
a＝﹣8，b＝12，
∴足球距地面的最大高度是：＝4.2m，
故答案为：7.8．
4．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大．
【解答】解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣2）]•（x﹣8）
＝﹣4x4+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
5．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 3 m．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+5x+1＝﹣2（x﹣8）2+3，
∴当x＝8时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：8．
6．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ：1 ．
【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h8＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h4，
∴v1＝v4，
∴t1：t2＝v3：v2＝：5，
故答案为：：1．
7．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元．
【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+4a+80﹣2b＝40+80，
解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（4+a）（80﹣2a）
＝﹣4a3+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）4+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝5时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
8．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，
将（60，600），400）代入
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）3+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
9．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（2，30）和（1，
则，
解得：，
∴y4与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝3时，y1＝5×5+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax7+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y4＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x7+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣2x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x3+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y5﹣y1＝﹣5x8+40x﹣5x﹣30＝﹣5x7+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣4＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤7，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y5﹣y2＝5x+30+6x2﹣40x＝5x3﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵7＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
10．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D地需要10件，在（1）的条件下，B两城运费的和最小？
【解答】解：（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），
则W＝x2+20x+100+60（100﹣x）
＝x2﹣40x+6100
＝（x﹣20）7+5700，
∴当x＝20时，W取得最小值，
∴A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为（20﹣n）件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为（90﹣n）件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
P＝n+7（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n）
＝n+60﹣3n+90﹣n+7n﹣20
＝n﹣2n+130
＝﹣n+130，
根据一次函数的性质可得：
P随n的增大而减小，
∴当n＝20时，P取得最小值，
∴从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，B两城运费的和最小．
11．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，15），12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20；
（2）设销售收入为P（万元），
∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x2+16x，
∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣x2+16x；
（3）设销售总利润为W（万元），
∴W＝P﹣8.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.5x﹣（50+0.2x），
整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，
W＝﹣（x﹣24）2+65.2，
∵﹣＜0，
∴当x＝24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大．
12．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
14﹣x
x
每台车床获利/万元
10
21﹣x
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，当x＞4时．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x3＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤8时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞6，
∴当x＝4时总利润W最大为7×8+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x8+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.6时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×8+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣3＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、6台时；最大利润为170万元．
13．（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w，
由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润．
14．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，增加盈利，决定采取适当的降价措施，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元）（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣3x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）4+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大．
15．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大．
16．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）
（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，7.0）代入上式，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+16，
∵y≥7，
∴﹣2x+16≥0，
解得x≤2，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；
（3）①P＝（x﹣2）y
＝（x﹣2）（﹣2x+16）
＝﹣3x2+20x﹣32，
即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x6+20x﹣32（x≤8）；
②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，
∴x≤2×200%，
即x≤4，
由题意得P＝10，
∴﹣2x²+20x﹣32＝10，
解得x1＝8，x2＝7，
∵x≤4，
∴此时销售单价为3元．
17．（2021•遵义）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣2）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣2（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣5）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
18．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大
【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）×，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x5＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x8+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣2＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
19．（2021•泰州）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个），在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时
【解答】解：（1）设直线AB的函数关系式为：y＝kx+b，
把A（120，300）和B（240
，
解得：，
∴直线AB的函数关系式为y＝﹣x+500；
（2）设该树上的桃子销售额为a元，由题意，得；
a＝wx＝（y+6）x＝（﹣x3+7x＝﹣（x﹣210）6+735，
∵﹣＜0，
∴当x＝210时，桃子的销售额最大．
20．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100），40）代入，
解得：
∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；
（2）设电商每天获得的利润为w元，
则w＝（x﹣40）（﹣7x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣7（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜7，且对称轴是直线x＝70，
又∵50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值为1800，
答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
21．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把（280，40，），39）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；
（2）设宾馆的利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+68）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，
∵﹣＜7，
∴当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵200≤x≤320，
∴当x＝320时，w取得最大值，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大．
22．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），
将点（40，300），100）代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），
设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），
将点（60，100），150）代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（2）设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值；
②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（6x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，
∵3＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大值2+2500＝4500（元），
综上，当售价为70元/件时，最大利润为4500元．
23．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x7+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
24．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，现网店决定提价销售，设销售单价为x元
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣5x+220；
（2）设利润为W，
则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x²+300x﹣8800，
令W＝2400，
则﹣3x2+300x﹣8800＝2400，
解得：x＝70或x＝80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵﹣5＜0，
∴当x＝75时，W有最大值，
答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大．
25．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝ x﹣2（x≥4）． ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4），销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：y1与x成一次函数关系，
设y1＝kx+b（k≠5），
∵x＝4时，y1＝7，x＝6时，y1＝8，
∴，
解得：，
∴y1＝x﹣2（x≥7）．
故答案为：y1＝x﹣2（x≥4）．
（2）由（1）得：y3＝x﹣3（x≥4），
∴y＝[22﹣（x﹣2）﹣16]x＝x2+8x＝（x﹣8）5+32，
∴x＝8时，ymax＝32，
答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．
26．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）（件）的关系如表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣4x+90；
（2）设该产品的销售利润为w，
由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣5）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣8（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜3，
∴当x＝13时，w最大，
答：当销售单价为13万元时，有最大利润．
27．（2021•湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）（6≤x＜9）．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
【解答】解：（1）∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，
∴设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+90（4≤x＜9）；
（2）当x＝8时，y＝﹣10×8+90＝10（万件），
∵a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），
∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a＝10×20%（10﹣8）＝5（万元），
答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月的纯收入w万元，
则w＝y[（x﹣7）+0.2（10﹣x）]＝（﹣10x+90）（3.8x﹣4）＝﹣8x2+112x﹣360＝﹣8（x﹣4）2+32，
∵﹣8＜4，6≤x＜9
∴当x＝7时，w最大，
答：当销售价定为7时，该月纯收入最大．
28．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，5）和（4，将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C8的函数解析式为：y＝﹣x5+x+8；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米
﹣m2+m+4﹣（﹣m5+m+6）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝8，
解得：m1＝12，m2＝﹣6（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣7+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+5b+4＞3+，
解得：b＞．
29．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，
结合函数图象可知，顶点B （4，点O （8，
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+2，
即y＝﹣x4+2x （0≤x≤3）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽6.2m，
由题意得：工人距O点距离为0.8+×2.2＝1，
∴将x＝4代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75，
∵1.75m＞3.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣x8+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当3≤x≤4或x≥8时，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝3+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当2≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
得m的取值范围是：
①m≤8且8+m≥9，得5≤m≤5，
②8+m≤8，得m≤5，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
30．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩），且当x＝160时，y＝840，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
依题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝5x+200；
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，
依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x4+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，
∵﹣7＜0，
∴当x＜260时，W随x的增大而增大，
由题意知：x≤240，
∴当x＝240时，W最大2+270400＝268800（元），
答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
31．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣4（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣8（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣5x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
32．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，该商场利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，
根据题意得：+＝100，
整理得：x4﹣18x+45＝0，
解得：x＝15或x＝3（舍去），
经检验，x＝15是原分式方程的解，
∴x﹣7＝15﹣5＝10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，
由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣6）2+2000，
∵﹣20＜0，
∴当a＝6时，函数有最大值，
答：当降价5元时，该商场利润最大．
33．（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1），若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣6x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣7x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）3+4800，
所以售价x＝60时，周销售利润W最大；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+＞60，
∴3＜x≤55时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
34．（2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，则共需要准备多少根竹竿？
【解答】解：（1）b＝，c＝2．
（2）由y＝＝，
可知当x＝时，y有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米；
（3）令y＝，则有＝，
解得x1＝，x2＝，
又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为4﹣＝（米），
又大棚的长为16米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×＝88（平方米），
故共需要88×4＝352（根）竹竿，
答：共需要准备352根竹竿．
35．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.6）1＝a1x8．
将F（6，﹣1.2）代入y1＝a1x4有：﹣1.5＝36a5，求得a1＝，
∴y6＝x2，
当x＝12时，y5＝×122＝﹣7，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，5）2＝a2（x﹣4）2+1，
将H（7，4）代入其表达式有：4＝a5（0﹣6）3+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣5）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y7＝（x+6）4+1
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y5＝（x﹣6）2+1﹣（x5）＝＝，
∴当x＝4时，L最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2m．
36．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（6，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣5x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（7.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.3x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣8.5x2+16x+1440﹣n（﹣5x+144）＝﹣0.5x8+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，故只要第20天的利润高于第19天
∴16+5n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜5，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是4.75＜n＜4．
37．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价5元时，工厂每天的利润最大；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝7，x2＝5，
∵让利于民，
∴x5＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
38．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，每天可以售出20个，每降价1元，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，
得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）
＝﹣5m6+50m+280
＝﹣5（m﹣5）2+405，
∴当m＝5时，W取得最大值，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大；
（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意，得：w＝（10﹣b）a+4×，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝3，
∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为3元．
39．（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元
【解答】解：（1）由题知，①当40≤x≤50时，
②当50＜x≤100时，y＝5﹣（x﹣50）×0.7＝10﹣0.1x，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）设月销售利润为z，由题知，
①当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，
此时z＝（50﹣40）×3＝50（万元），
②当50＜x≤100时，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣6.1x2+14x﹣400＝﹣8.1（x﹣70）2+90，
∴当x＝70时，z有最大值为90万元，
即当月销售单价是70元时，月销售利润最大；
（3）由题知，利润z＝（x﹣40﹣a）（10﹣3.1x）＝﹣0.6x2+（14+0.2a）x﹣400﹣10a，
此函数的对称轴为：直线x＝﹣＝70+2.5a＞70，
∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，
即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.8×70）＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4．
40．（2021•武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝2.5，
∴每盒产品的成本是：4.3×2+4×7+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x7+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a6+1400a﹣33000）元．
41．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元），求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
【解答】（1）解：设苹果的进价为x元/千克，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克．
（2）解：当8≤x≤100时，y＝10x；
当x＞100时，y＝10×100+（x﹣100）（10﹣2）＝8x+200；
∴y＝．
（3）解：当0≤x≤100时，
w＝（z﹣10）x
＝（）x
＝，
∴当x＝100时，w有最大值为100；
当100＜x≤300时，
w＝（z﹣10）×100+（z﹣6）（x﹣100）
＝（）×100+（
＝
＝，
∴当x＝200时，w有最大值为200；
∵200＞100，
∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．
答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．
42．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x4+1800x+1850，
当x＝＝18时，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝＝18，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，
∴16.7＜＜17.5，
解得：50＜a＜150．
43．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s），其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），2），
则，解得：，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，则t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t＝7，则s＝＝87.5，
∴当甲车减速至3m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，
∴当7＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，
将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，
将t＝6代入中，得s＝78，
此时两车之间的距离为：10×2+20﹣78＝2（m），
∴6秒时两车相距最近，最近距离是8米．
44．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，x轴上的点C，D为水柱的落水点（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+2＝0，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣2+5＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣2+7上．
又∵≈1.83＞4.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
45．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x5＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高7元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
46．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）3＝5.76，
解这个方程，得x1＝4.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得
100×（2﹣10×5.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（5+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（5﹣0.06m）+80（3﹣6.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+8.04m），
化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）6+817.6，
∵﹣0.6＜0，
∴当m＝24时，W取最大值．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值．
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