2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-三角形填空题

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-三角形填空题，共49页。试卷主要包含了 　 　度等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学真题知识点分类汇编-三角形填空题

一．三角形的面积（共3小题）
1．（2021•泰州）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 　 　．

2．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 　 　．

3．（2021•黑龙江）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝　 　．

二．三角形三边关系（共4小题）
4．（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 　 　．
5．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　 　．
6．（2021•柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 　 　．（写出一个即可）
7．（2021•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 　 　．

三．三角形内角和定理（共1小题）
8．（2021•常州）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　 　°．

四．三角形的外角性质（共1小题）
9．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　度．

五．全等三角形的判定（共3小题）
10．（2021•德州）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 　 　，使△ABF≌△DCE．

11．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　 　．（只需写出一个条件即可）

12．（2021•济宁）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 　 　，使△ABC≌△ADC．

六．全等三角形的判定与性质（共8小题）
13．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　 　．

14．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　 　．

15．（2021•日照）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 　 　时，△ABP与△PCQ全等．

16．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 　 　．

17．（2021•广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝

18．（2021•贵阳）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 　 　．
19．（2021•鄂州）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　 　．

20．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　 　．
七．角平分线的性质（共3小题）
21．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．

22．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　 　．

23．（2021•常德）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 　 　．

八．线段垂直平分线的性质（共2小题）
24．（2021•锦州）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 　 　．

25．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是　 　．

九．等腰三角形的性质（共9小题）
26．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．

27．（2021•滨州）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 　 　．

28．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 　 　．
29．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　 　．

30．（2021•南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　 　（用含α的代数式表示）．

31．（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　 　°．

32．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 　 　．

33．（2021•泰安）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　 　．

34．（2021•连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝　 　°．

一十．含30度角的直角三角形（共4小题）
35．（2021•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　 　．

36．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 　 　．

37．（2021•常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　 　．

38．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 　 　．
一十一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
39．（2021•盐城）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝　 　．

一十二．勾股定理（共6小题）
40．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 　 　．
41．（2021•南通）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为 　 　．

42．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　 　．

43．（2021•深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　 　．

44．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 　 　．
45．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　．

一十三．勾股定理的证明（共1小题）
46．（2021•陕西）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 　 　．

一十四．勾股定理的应用（共3小题）
47．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　 　方向航行．

48．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　 　尺．

49．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 　 　．

一十五．三角形中位线定理（共7小题）
50．（2021•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 　 　．

51．（2021•桂林）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝　 　．

52．（2021•青海）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 　 　．

53．（2021•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　 　．

54．（2021•邵阳）如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 　 　．

55．（2021•扬州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝　 　．

56．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是 　 　．


参考答案与试题解析
一．三角形的面积（共3小题）
1．（2021•泰州）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 　0＜S≤2　．

【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，

∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，
∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，
∴S△PMN＝＝ME，
∵AB与CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0
∵ME≤MP＝2
∴0＜S△≤2．
故答案是：0＜S≤2．
2．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 　12：15：10　．

【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，
∴BF⊥AC，
∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF，
∴CE：AD：BF＝12：15：10．
故答案为：12：15：10．
3．（2021•黑龙江）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝　24038　．

【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，
∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，
∴∠ADA1＝60°，
∵DA1＝CD，
∴AD＝DA1，
∴△ADA1为等边三角形且边长为1，
同理：△A1D1A2为等边三角形且边长为2，
△A2D2A3为等边三角形且边长为4，
△A3D3A4为等边三角形且边长为8，
…，
△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，
∴S1＝×12，
S2＝×22，
S3＝×42，
…，
Sn＝×22n﹣2，
∴S2021＝×24040＝24038，
故答案为24038．
二．三角形三边关系（共4小题）
4．（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 　4　．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，
∴a为4．
故答案为：4．
5．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　﹣3＜a＜﹣2　．
【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，
∴3＜1﹣a＜1﹣2a，
∴a＜﹣2，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜﹣2，
故答案为﹣3＜a＜﹣2．
6．（2021•柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 　5（答案不唯一）　．（写出一个即可）
【解答】解：由三角形三边关系定理得：4﹣3＜a＜4+3，
即1＜a＜7，
即符合的整数a的值可以是5（答案不唯一），
故答案为：5（答案不唯一）．
7．（2021•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 　≤m≤　．

【解答】解：如图，取AB的中点M，连接QM，CM，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝CM＝AB＝5，
∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点，
∴QM是△APB的中位线，
∴QM＝AP＝，
在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ，
∴＜m＜，
∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，
当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值，
综上，m的取值范围为：≤m≤．
故答案为：≤m≤．
三．三角形内角和定理（共1小题）
8．（2021•常州）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　100　°．

【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵DE∥AB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
四．三角形的外角性质（共1小题）
9．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　（填“增加”或“减少”） 　10　度．

【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：

∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：减少，10．
五．全等三角形的判定（共3小题）
10．（2021•德州）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 　∠B＝∠C（答案不唯一）　，使△ABF≌△DCE．

【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
添加∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．
11．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE　．（只需写出一个条件即可）

【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
12．（2021•济宁）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 　AD＝AB（答案不唯一）　，使△ABC≌△ADC．

【解答】解：添加的条件是AD＝AB，
理由是：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．
六．全等三角形的判定与性质（共8小题）
13．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　2　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，

∴点P在上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO﹣OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4﹣2＝2，
故答案为2．
14．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　2　．

【解答】解：延长JD交BC于点N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，
同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，
∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，
∴DK＝EL＝JF，
∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），
过点A作AT⊥BC，交BC于点T，
设AB＝BC＝AC＝a，

在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，
∴BT＝，AT＝，
∴S△ABC＝，
∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，
∴JF＝EL＝DK＝a，
过点H作HM⊥AC，交AC于点M，

∵∠J＝∠JFH＝30°，
∴JH＝FH，
∴JM＝，
在Rt△JHM中，HM＝，
∴S△JHF＝，
∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，
∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，
过点A作AP⊥DJ，交DJ于点P，

设AD＝x，
在Rt△APD中，∠ADP＝30°，
∴AP＝，DP＝，
∴JD＝2DP＝，
∴3S△JDA＝3×，
∴，
解得：x＝±2（负值舍去），
即AD的值为2，
故答案为：2．
15．（2021•日照）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 　2或　时，△ABP与△PCQ全等．

【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8cm，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或．
16．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 　　．

【解答】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，如图所示，
则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，
∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，
∴CB′＝＝＝，
故答案为：．

17．（2021•广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 　（1）（3）（4）　（填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝

【解答】解：（1）在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，
得：FH＝HK，
即H是FK的中点，故（1）正确；
（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，

∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴，
∴AH＝，HM＝，
∴HN＝4﹣＝，
即HM≠HN，
∵MN∥CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝，
HC＝，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；
（3）过H分别作HT⊥CD于T，
由（2）知，AM＝＝，
∴DM＝，
∵MN∥CD，
∴MD＝HT＝，
∴＝＝，故（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝＝，
∴，
∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正确．
18．（2021•贵阳）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 　2﹣2，2　．
【解答】解：如图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，
作正△GEF的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG＝∠EDG＝90°，
∴E、K、D、G四点共圆，
∴∠KDE＝∠KGE＝60°，
同理∠KAE＝60°，
∴△KAD是一个正三角形，
则K必为一个定点，
∵正三角形面积取决于它的边长，
∴当FG⊥AB时，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，
当FG过B点时，即F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，
此时作KH⊥BC于H，
由等边三角形的性质可知，
K为FG的中点，
∵KH∥CD，
∴KH为三角形F'CG'的中位线，
∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2，
∴F'G'＝＝＝＝2﹣2，
故答案为：2﹣2，2．

19．（2021•鄂州）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　2　．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，
∴∠ECD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
BC与AD的交点记作点F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFC+∠CAE＝90°，
∵∠AFC＝∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DFB+∠CBD＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD，CE＝CD，
在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，
∴DE＝CD＝＝8，
∵BD＝2，
∴AE＝2，
∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝＝2，
故答案为．

20．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　2±2或4或2　．
【解答】解：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，
∵AD＝AC＝2，
∴DE＝＝2，EC＝＝2，
∴DE＝EC＝AE，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝4，
当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，
∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，
∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，
在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，
∵△DBD′是等边三角形，
∴DD′＝2+2，
∴CD的长为2±2或4或2．
故答案为：2±2或4或2．
七．角平分线的性质（共3小题）
21．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　　．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
22．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　2.4　．

【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
23．（2021•常德）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 　4　．

【解答】解：∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵BD＝5，
∴BE＝＝＝4，
故答案为4．
八．线段垂直平分线的性质（共2小题）
24．（2021•锦州）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 　2+2　．

【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD+DB＝2+2，
故答案为：2+2．
25．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是　12　．

【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．
∴△ABD的周长是12．
故答案为：12．
九．等腰三角形的性质（共9小题）
26．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 　（，4）或（，4）或（10，4）　．

【解答】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：（，4）或（，4）或（10，4）．
27．（2021•滨州）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 　34°　．

【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝44°，
∴∠ADB＝＝68°，
∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°，
故答案为：34°．
28．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 　36°或45°　．
【解答】解：（1）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，求∠ABC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，
∵∠CDA＝2∠ABC，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝36°，
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，求∠ABC的度数．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB
∴∠BAC＝2∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：36°或45°．


29．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　1　．

【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．

30．（2021•南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　180°　（用含α的代数式表示）．

【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，
∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC＝360°，
即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC＝360°，
∵∠ABC＝α，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴2∠ADC＝360°﹣α，
∴．
解法二：∵AB＝BC＝BD，∴A，C，D可看作是以点B为圆心，BD为半径的圆上的点，则弧AC所对的圆周角的度数为，
∴∠ADC＝180°﹣．
故答案为：180．
31．（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　54　°．

【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
32．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 　15°或75°　．

【解答】解：如右图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．

33．（2021•泰安）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　4　．

【解答】解：设AB交半圆于点D，连接CD．

∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD垂直平分斜边AB，
∴CD＝BD＝AD，
∴＝，
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；
∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S阴影＝4；
故答案为：4．
34．（2021•连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝　25　°．

【解答】解：连接OC，

∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣∠AOC）＝）＝25°，
故答案为：25．
一十．含30度角的直角三角形（共4小题）
35．（2021•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　6　．

【解答】解：如图，

当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
36．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 　2　．

【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
37．（2021•常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　＜AD＜2　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，
①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，
如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；

当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，

设圆的半径为r，即AF＝DF＝EF＝r，
∵EF⊥BC，∠B＝30°，
∴BF＝2EF＝2r，
∴r+2r＝2，解得r＝；
∴AD＝2r＝；
综上，AD的长的取值范围为：＜AD＜2．
故答案为：＜AD＜2．
38．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 　2或或2　．
【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC＝AB＝2，
当点P在线段AB上时，

∵∠PCB＝30°，
∴CP⊥AB，
则PC＝BCcos30°＝2×＝；
当点P（P′）在AB的延长线上时，
∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，
∴P'C＝2PC＝2．
（2）当∠ABC＝30°时，如图，

∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△PAC为等边三角形．
∴PC＝AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2．
∴PC＝2．
综上，PC的长为：2或或2．
故答案为2或或2．
一十一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
39．（2021•盐城）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝　4　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故答案为：4．
一十二．勾股定理（共6小题）
40．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 　　．
【解答】解：∵m﹣n2+4＝0，
∴n2﹣4＝m，
∴3n2﹣9＝3m+3，
∵P（m，3n2﹣9），
∴P点到原点的距离为＝，
∴点P到原点O的距离的最小值为，
故答案为．
41．（2021•南通）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为 　　．

【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，
过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠FAC＝45°，
∴△AFC为等腰直角三角形，
设AF＝x，则CF＝x，
∴AC＝＝，
∴AB＝，
∵AE、AB均为⊙的半径，
∴AE＝2x，
∴EF＝＝，
∴CE＝，
∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，
∴四边形FAGE为矩形，
∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，
∴BG＝AB﹣AG＝（2）x，
∴BE＝＝，
∴＝．
故答案为：．
42．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　8　．

【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴，
∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．
故答案为：8．
43．（2021•深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　5+5　．

【解答】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝5，
∴AE＝＝＝5，
∴△DEF周长＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，
故答案为：5+5．
44．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 　或　．
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
则×3×4＝×5×h，
解得：h＝，
当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，
则×3×＝×4×h，
解得：h＝，
综上所述：直角三角形斜边上的高为或，
故答案为：或．
45．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　100　．

【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
一十三．勾股定理的证明（共1小题）
46．（2021•陕西）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 　49　．

【解答】解：根据勾股定理，得AF＝＝＝5．
所以AB＝12﹣5＝7．
所以正方形ABCD的面积为：7×7＝49．
故答案是：49．

一十四．勾股定理的应用（共3小题）
47．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　北偏东50°　方向航行．

【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
48．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　12　尺．

【解答】解：依题意画出图形，

设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
49．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 　（x﹣6.8）2+x2＝102　．

【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，
依题意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．
一十五．三角形中位线定理（共7小题）
50．（2021•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 　　．

【解答】解：设点A到BC的距离是h，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AE＝，
∴BC＝2AE＝15，
∵D，E分别是AB，BC的中点，DE＝，
∴AC＝2DE＝9，
由勾股定理得：AB＝＝＝12，
则×15×h＝×12×9，
解得：h＝，
故答案为：．
51．（2021•桂林）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝　8　．

【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝4，
∴BC＝2×4＝8．
故答案是：8．
52．（2021•青海）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 　20　．

【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∵△DEF的周长为10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴2EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
53．（2021•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　8　．

【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
即DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB⊥BE，
∴S平行四边形ABFD＝AB•BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC＝＝＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8，
故答案为8．
54．（2021•邵阳）如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 　5　．

【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴FD、FE、DE为△ABC中位线，
∴DF＝AC，FE＝AB，DE＝BC；
∴DF+FE+DE＝AC+AB+BC＝（AB+AC+CB）＝×10＝5，
故答案为：5．
55．（2021•扬州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝　3　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴E是BC的中点，AB＝2CD＝10，
∴AC＝2DE，
∵BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
∴DE＝3．
故答案为3．
56．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是 　9　．

【解答】解：如图，
在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，且DE＝AB，
∴＝＝，
∵BF＝6，
∴EF＝3．
∴BE＝BF+EF＝9．
故答案为：9．