2022年江苏省盐城市数学中考模拟试卷及详细解析

这是一份2022年江苏省盐城市数学中考模拟试卷及详细解析，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
盐城市2022年初中毕业与升学考试数学试卷
一、选择题
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2021
2. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽四个图案中是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
4. 如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（ ）


A.
B.
C.
D.

5. 2020年12月30日盐城至南通高速铁路开通运营，盐通高铁总投资约2628000万元，将数据2628000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
8. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
9. 一组数据2，0，2，1，6的众数为________．
10. 分解因式：a2+2a+1＝_____．
11. 若一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
12. 如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．

13. 如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________．

14. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．
15. 劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
16. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．

三、解答题
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 已知抛物线经过点和．
（1）求、值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
21. 如图，点是数轴上表示实数的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
22. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．

（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
23. 如图，、、分别是各边的中点，连接、、．


（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）加上条件 后，能使得四边形为菱形，请从①；②平分；③，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明．
24. 如图，为线段上一点，以为圆心长为半径的⊙O交于点，点在⊙O上，连接，满足．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求值．
25. 某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．


（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
26. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：
该地区每周接种疫苗人数统计表
周次
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
接种人数（万人）
7
10
12
18
25
29
37
42
该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

A：建议接种疫苗已接种人群
B：建议接种疫苗尚未接种人群
C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人；
（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．
①估计第9周的接种人数约为________万人；
②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？
（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？
27. 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．


初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．







盐城市2022年初中毕业与升学考试数学试卷
一、选择题
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2021
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的意义进行计算，再进行判断即可
【详解】解：的绝对值是2021；
故选：D
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键
2. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同底幂乘法的运算法则计算可得
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查同底幂的乘法，同底幂的乘法法则和乘方的运算法则容易混淆，需要注意
3. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意；
D是轴对称图形，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
4. 如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（ ）


A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的是主视图，由此可得答案．
【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的是主视图．
5. 2020年12月30日盐城至南通高速铁路开通运营，盐通高铁总投资约2628000万元，将数据2628000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a，数出整数的整数位数，减去1确定n，写成即可
【详解】∵2628000=，
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法，将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a，数出整数的整数位数，减去1确定n，是解题的关键．
6. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：如图所示：

由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°
则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．
7. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
8. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中

∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
二、填空题
9. 一组数据2，0，2，1，6的众数为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据众数的定义进行求解即可得．
【详解】解：数据2，0，2，1，6中数据2出现次数最多，
所以这组数据的众数是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了众数，熟练掌握众数的定义以及求解方法是解题的关键．
10. 分解因式：a2+2a+1＝_____．
【答案】（a+1）2
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式分解.
【详解】a2+2a+1＝（a+1）2．
故答案为.
【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【解析】
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9
12. 如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．

【答案】80
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质计算出即可．
【详解】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
13. 如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；
【详解】解：如图，

∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，
∴CDAB，
∵CD＝2，
∴AB＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15. 劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
【详解】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
16. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．

【答案】或
【解析】
【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到．
【详解】解：当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H，

∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】2．
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．
【详解】

．
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找到解集的公共部分．
【详解】
解：解不等式①得：
解不等式②得：
在数轴上表示不等式①、②的解集（如图）

∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式是解题的关键，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可．
【详解】解：原式

．
∵
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．
20. 已知抛物线经过点和．
（1）求、的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可；
（2）将，按题目要求平移即可．
【详解】（1）将点和代入抛物线得：

解得：
∴，
（2）原函数的表达式为:，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
21. 如图，点是数轴上表示实数的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．

（2）如图所示，点在点的右侧，所以

【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
22. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．

（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【答案】（1）；（2）见解析，
【解析】
【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;
(2)画出树状图计算即可.
【详解】（1）∵这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,
∴数字是6的概率为,
故答案为：；
（2）解：画树状图如图所示：

∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．
∴（其中有一幅是祖冲之）．
【点睛】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
23. 如图，、、分别是各边的中点，连接、、．


（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）加上条件 后，能使得四边形为菱形，请从①；②平分；③，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）②或③，见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，根据平行的传递性证明，即可证明四边形为平行四边形．
（2）选②平分，先证明，由四边形是平行四边形，得出，即可证明平行四边形是菱形．选③，由且，得出，即可证明平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明：已知、是、中点
∴
又∵、是、的中点
∴
∵
∴
∴四边形为平行四边形
（2）证明：选②平分
∵平分
∴
又∵平行四边形
∴
∴
∴
∴平行四边形是菱形
选③
∵且
且
又∵
∴
∴平行四边形菱形
故答案为：②或③
【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的性质及判定，熟练进行角的转换是关键，熟悉菱形的判定是重点．
24. 如图，为线段上一点，以为圆心长为半径的⊙O交于点，点在⊙O上，连接，满足．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】(1) 连接，把转化为比例式，利用三角形相似证明即可；
(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接

∵
∴，
又∵∠P=∠P，
∴
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴
已知是上的点，AB是直径，
∴，
∴
∴，
∴PC是圆的切线；
（2）设，则，
∴
在中
∵，，
∴
已知，

∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键．
25. 某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．


（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米
【解析】
【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可；
（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．
【详解】解：（1）过点作交于，
∵，
∴，
，
，
∴，
答：点距离地面113厘米；


（2）过点作垂直于地面于点，
过点作交于点，
过点作交于点，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵，将支杆绕点顺时针旋转，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
答：长为58厘米．

【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．
26. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：
该地区每周接种疫苗人数统计表
周次
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
接种人数（万人）
7
10
12
18
25
29
37
42
该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

A：建议接种疫苗已接种人群
B：建议接种疫苗尚未接种人群
C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人；
（2）若从第9周开始，每周接种人数仍符合上述变化趋势．
①估计第9周的接种人数约为________万人；
②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？
（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？
【答案】（1）22.5，800；（2）①48；②最早到13周实现全面免疫；（3）25周时全部完成接种
【解析】
【分析】（1）根据前8周总数除以8即可得平均数，8周总数除以所占百分比即可；
（2）①将代入即可；②设最早到第周，根据题意列不等式求解；
（3）设第周接种人数不低于20万人，列不等式求解即可
【详解】（1）22.5，
故答案为：
（2）①把代入

故答案为：48
②∵疫苗接种率至少达到60%
∴接种总人数至少万
设最早到第周，达到实现全民免疫的标准
则由题意得接种总人数为
∴
化简得
当时，
∴最早到13周实现全面免疫
（3）由题意得，第9周接种人数为万
以此类推，设第周接种人数不低于20万人，即
∴，即
∴当周时，不低于20万人；当周时，低于20万人；
从第9周开始当周接种人数为，
∴当时
总接种人数为：解之得
∴当为25周时全部完成接种.
【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题,读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
27. 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．


【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【解析】
【分析】（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．
（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【详解】（1）由题意可得:
∴的坐标为
故答案为：；
（2）∵，由题意得
坐标为
∵，在原一次函数上，
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则

解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中

∴

即；

②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴

∴

∴
在和中

∴
∴；

（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，
∴
∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵
∴
∴在和中

∴
∴，
∴作轴于
在中，
∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时，得
∴
设与轴交于点
∵
∴



【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．