高中数学1.4 空间向量的应用测试题

1.4课时 空间向量的应用

一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知向量，，且，则的值为

A．－14 B．10 C．12 D．14

2．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ）

A． B． C． D．

3．在平行六面体中，若，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

4．若向量为两个非零向量，且，则向量与的夹角为

A． B． C． D．

5．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（    ）

A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定

6．若平面的法向量分别为，则（    ）

A． B．与相交但不垂直

C． D．或与重合

7．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面所在平面的位置关系是（    ）

A．平面与平面平面都垂直

B．它们两两垂直

C．平面与平面垂直，与平面不垂直

D．平面与平面、平面都不垂直

8．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（    ）

A． B．

C． D．

10．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（    ）

A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等

11．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（    ）

A． B．

C． D．

12．将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；② 是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

三、填空题。本大题共4小题。

13．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．

14．将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角A-BD-C的正弦值为________．

15．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．

16．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.

四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．

（1）求证：平面．

（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；

18．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．

（1）求证：ADBF；

（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；

19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点

（1）求异面直线SA与FC所成角的大小；

（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．

20．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

21．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

22．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．

（1）求MN的长；

（2）a为何值时，MN的长最小？

（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

参考答案

1．C

2．A

3．A

4．A

5．A

6．D

7．A

8．C

9．BD

10．BC

11．BC

12．ABD

13．

14．

15．0

16．－9

17．（1）因为四边形为矩形，则，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以，平面；

（2）因为平面，四边形为正方形，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，设点，

，，，

设平面的法向量为，

由，令，可得，

要使得平面，则，所以，，解得，

则，此时，.

18．（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，

∴ED面ABCD，面，即，

过作于，过作交于，

∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，

∴，即，则，且，

∴，得，即，

∴，而，即面，又面，

∴，故.

（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：

∴，若，则，

设，则，

设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，

若AE∥平面BDM，则，解得，

∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．

19．（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，

平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F（1，），

（0，﹣1，），（0，，），

设异面直线SA与FC所成角为θ（0°＜θ≤90°），

则cosθ0，∴θ＝90°．

∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°；

（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），λ，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，

则，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，

∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），

设平面ACQ的法向量(x，y，z），

则，取x＝2，得，

设平面ASC的法向量(p，q，r），

则，取p＝2，得=(2，﹣1，），

∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，

∴，

整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．

故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时．

20．由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，

则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝.

设平面AA1C1C的一个法向量为＝(x1，y1，z1)．

则

令x1＝1，得y1＝1.∴＝(1，1，0)．

设平面AEC1的一个法向量为＝(x2，y2，z2)．

则⇒

令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴＝(1，－1，4)．

∵＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.

∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.

21．（1）证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.

＝，＝(0，a，0)．

∵＝0，∴，即EF⊥CD.

（2）解：设G(x，0，z)，则＝，

若使GF⊥平面PCB，则需且

由＝·(a，0，0)

＝a＝0，得x＝；

由＝·(0，－a，a)

＝＋a＝0，得z＝0.

∴G点坐标为，即G为AD的中点．

22．解：如图建立空间直角坐标系，

，， ， ，

，， ．

（1）；

（2），

当时，最小，最小值为；

（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，

则，0，，，，，取的中点，连接，，

则，，，

，，，，

是平面与平面的夹角或其补角．

，，

平面与平面夹角的余弦值是．