高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步测试题

1.4空间向量的运用

一、单选题

1.已知四面体 中， ， ， 两两垂直， ， 与平面 所成角的正切值为 ，则点 到平面 的距离为（    ）           

A.                                      B.                                      C.                                      D. 

2.正方体 的棱长为1，点M在正方体的表面 上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径. 已知点M到A的最短路径 等于点M到点G的最短路径 . 则 的最大值为(    )           

A.                                      B.                                      C.                                      D. 

3.平面 的一个法向量为 ，则y轴与平面 所成的角的大小为（    ）           

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

4.若直线 的方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则实数 （     ）           

A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 10

5.正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面  的距离为（    ）           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

6.已知两平面的法向量分别为 ， ，则两平面所成的二面角为（    ）           

A.                               B.                               C.  或                               D. 

7.已知 为直线l的方向向量， ， 分别为平面 ， 的法向量 不重合 那么下列说法中： 

； ； ； 正确的有     

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

8.三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，N是BC的中点，点P在 上，且满足 ，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时， 的值为        

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

二、填空题

9.已知长方体 的 、 、 的长分为3､4､5，则点A到棱 的距离为________.   

10.正三棱柱 的侧棱长和底面边长均为2，则 与侧面 所成角的正弦值为________；点E为 中点，则过 ， ， 三点的截面面积为________.   

11.已知  的三个顶点为  ，  ， ，则 边上的中线长为________．                                                                  

12.如图，在直三棱柱 中， ， ，已知 和 分别为 和 的中点， 和 分别为线段 和 上的动点（不包括端点），若 ，则线段 长度的取值范围为________． 

三、解答题

13.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．   

14.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分别为A1B1、CC1的中点，且AA1=CD=2，AB=AD=1．

（1）求证：EF∥平面A1BC；

（2）求D1到平面A1BC1的距离．

15.如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ， 与平面 所成角为 . 

（1）求证： 平面 ；   

（2）求二面角 的余弦值.   

16.如图，在多面体 中， 是边长为4的等边三角形， ， ， ，点 为 的中点，平面 平面 ． 

（1）求证： 平面    

（2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，试指出点 的位置；若不存在，请说明理由．  

参考答案

1. D   2. B   3.B   4. A   5. A   6. C   7. B   8. A  9.5   10. ；   11. 3   12.   

13.解：（Ⅰ） 由 消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣6=0．
又由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，
由 得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x=0．
（Ⅱ） 过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1的参数方程为
将其代入x2+y2﹣6x=0得 ，
则 ，知t1＞0，t2＞0，
所以  

14.  证明：（1）取A1B的中点O，连接OE，OC，则OE平行且等于BB1  ，

∵F为CC1的中点，∴CF平行且等于CC1  ，

∴OE平行且等于CF，

∴四边形OECF是平行四边形，

∴EF∥OC，

∵EF⊄平面A1BC，OC⊂平面A1BC，

∴EF∥平面A1BC；

（2）解：△A1BC1中，A1B=A1C1=  ， BC1=  ， ∴面积为xx= ．

设D1到平面A1BC1的距离为h，则×h=xx2x1x2

∴h=．

即D1到平面A1BC1的距离为 ．

15. （1）证明：因为 平面 ， 面 ，所以 .  

因为 是正方形，所以

又 ， 面 ， 面 ，故 平面

（2）解：因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示.  

因为 平面 ，且 与平面 所成角为 ，即 ，

所以 ，由已知 ，可得 ， .

则 ， ， ， ， ，

所以 ， .

设平面 的法向量为 ，则 ，即 .

令 ，则

因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， .

所以 .

因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .

16.（1）证明：因为 ， 是边长为4的等边三角形，  

所以 ，

所以 是等腰直角三角形， ．

又点 为 的中点，所以 ．

因为平面 平面 ，平面 平面 ，

所以 平面 ．

因为 ， ，

所以 ， ，

所以 与 都是直角三角形，

故 ， ．

又 ，

所以 平面 ，

所以 ．

因为 平面 ， 平面 ，

所以 平面 ．

（2）解：连接 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  

则 ， ， ， ，

设存在 ，使得二面角 为直二面角，易知 ，且 ．

设平面 的法向量为 ，

则由 ， ，

得 ，令 ，得 ， ，

故 ．

设平面 的法向量为 ，

则由 ， ，

得 ，令 ，得 ， ，

故 ．

由 ，得 ，故 ．

所以当 为线段 上靠近点 的八等分点时，二面角 为直二面角．