高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理练习题
展开1.2空间向量基本定理同步练习
一．单选题
1．设，，是三个非零向量，，，为空间的一个基底，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知点、、、为空间不共面的四点，且向量，向量，则与、不能构成空间基底的向量是
A． B． C． D．或
3．若向量的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系为空间任一点），则能使向量成为空间一组基底的关系是
A． B．
C． D．
4．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则
A． B． C． D．1
5．如图，梯形中，，点为空间任意一点，设，，，则向量用，，表示为
A． B． C． D．
6．已知正方体中，若点是侧面的中心，且，则，的值分别为
A．， B．， C．， D．，
7．若构成空间的一个基底，则
A．不共面 B．不共面
C．不共面 D．不共面
8．已知空间四边形，在上，满足，是的中点，且，，用，，表示向量为
A． B． C． D．
二．多选题
9．给出下列命题，其中正确命题有
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面
D．已知向量组，，是空间的一个基底，若，则，，也是空间的一个基底
10．已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是
A．向量的模是3
B．可以构成空间的一个基底
C．向量和夹角的余弦值为
D．向量与共线
11．在空间四边形中，、分别是、的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式成立的是
A． B．
C． D．
12．设，，是空间的一组基底，则下列结论正确的是
A．，，可以为任意向量
B．对空间任一向量，存在唯一有序实数组，，，使
C．若，，则
D．，，可以作为构成空间的一组基底
三．填空题
13．已知正方体的棱长为，，点为的中点，则 ．
14．在三棱锥中，是的重心．设，以为基向量表示，则 ．
15．已知，是异面直线，，，，，，，且，，则，所成角的大小是 ．
16．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则 ．
四．解答题（共2小题）
17．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值．
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．
12．．
13．．
14．．
15．．
16．．
17．证明：如图示：
连接并延长交于点，
由题意可令，，为空间的一个基底，
故
，
连接，因为点，，，共面，
故存在实数，，使得，
即，
故，
由空间向量基本定理知，，，
故，为定值．
18．证明：（1）连接由四边形是正方形可知，点为的中点，又为的中点，
所以．（2分）
又平面，平面，
所以平面．（6分）
（2）在线段上存在点，使平面，
证明如下：取的中点，连接，在四棱锥中，，，
所以．（8分）
又由底面，底面，
所以．（10分）
由四边形是正方形可知，，又，
所以平面，而平面，（12分）
所以，平面平面，且平面平面，
因为，平面，所以平面．（14分）
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