人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用综合训练题

空间向量研究距离、夹角问题

1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°,则直线l与平面α所成的角为(　　)

A.30° B.60°

C.150° D.120°

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是(　　)

A.0 B.

C.- D.

3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为(　　)

A. B.

C. D.

4.在正四棱锥S-ABCD中,已知SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　)

A. B.

C. D.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1C的中点,O为底面ABCD的中心,P为A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成的角为　　　　　. 

6.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于　　　　　,平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值为　　　　　. 

7.如图,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

参考答案

1. B

2. A

3. A

4. C

5.

6.

7.如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则由题意知,OA⊥BD,OC⊥BD,OA=1,OC=.

又CA=2,所以OA2+OC2=CA2,所以OA⊥OC.

以O为原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),

所以=(-1,0,1),=(-1,-,0).

设异面直线AB与CD所成的角为θ,

则cosθ=|cos<>|=.

故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.