2022届江苏省高淳高级中学等六校高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2022届江苏省高淳高级中学等六校高三上学期10月联考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届江苏省高淳高级中学等六校高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合 ，则 （       ）A．{1} B．{1，2} C．  D．{－1，0，1，2，3}【答案】C【分析】由题知，进而根据集合并集运算即可得答案.【详解】解：解不等式得，所以，因为所以故选：C2．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为的共轭复数为的虚部为A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.3．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．4．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D.5．设，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用对数函数的单调性将分别与进行比较即可解决.【详解】，则，则故有故选：C6．已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角公式求出，，再根据以及两角差的余(正)弦公式计算出，根据的范围可得答案.【详解】，且，，，，，.又.，.故选：B7．已知函数f(x)＝，方程 有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（       ）A．(0，) B．(0，1) C．[，1) D．(－∞，0)【答案】A【分析】利用导数判断当 时，单调情况，结合当时， ，作出函数的大致图象，数形结合，采用换元法，根据图象的交点情况，确定方程的根的情况，可得答案.【详解】当 时，，当 ， 单调递增，当 时， 单调递减，且，当时， ，由此作出函数 的大致图象，如图：令，则方程即为 ，即 ，当，即 时，有两根 ，故要使方程 有5个不相等的实数根，需 ，即 有三个根，由图象可知当 时，有三个根，故，故选：A8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题得直线的方程为，直线的方程为，联立，解得点坐标再根据为等腰三角形，，可得利用两点之间的距离公式即可得出C的离心率．【详解】解：由题知，所以直线的方程为，因为，所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为．联立，解得，．因为为等腰三角形，，所以，即，整理得：．所以椭圆C的离心率为．故选：C二、多选题9．下列结论中正确的是（       ）A．若－<<0，则sin>tanB．若是第二象限角，则sin>cosC．若角的终边过点P(3k，4k)(k≠0），则sin＝D．若扇形的周长为6，半径为2，则扇形的面积为2【答案】AD【分析】根据三角函数在－<<0的性质可判断A;根据是第二象限角，可求出，由此分类讨论，可判断B;根据三角函数的定义可判断C;根据扇形的面积公式求得扇形面积，可判断D.【详解】对于A, 若－<<0，则 ，故，故A正确；对于B, 若是第二象限角，即， 则 ，当k取 偶数时，,此时sin>cos，当k取奇数时，,此时 ，故B错误；对于C，若角的终边过点P(3k，4k)(k≠0），则 ，故 ，故C错误；对于D, 若扇形的周长为6，半径为2,则扇形的弧长为2，故扇形的面积为 ，故D正确，故选：AD10．设正实数满足，则（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】结合基本不等式得，进而，，A错误，B正确；由题知，进而，C正确；结合基本不等式“1”的用法判断D选项.【详解】解：对于A选项，因为，所以，当且仅当等号成立，故，所以，当且仅当时等号成立，故A选项错误；对于B选项，因为，当且仅当等号成立，所以，故B选项正确；对于C选项，由得，所以，所以，故C选项正确；对于D选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，故D选项错误.故选：BC11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时， ，则下列结论正确的是（       ）A．函数y＝f(x)是周期为4的周期函数B．f(2021)＋f(2022)＝1C．当x∈[－1，0]时， D．不等式 的解集为 【答案】ABD【分析】先根据题意得到函数为奇函数，且是周期为4的周期函数，可判断A;根据奇偶性可求出a的值，利用周期性可判断B; 利用函数的奇偶性求得当 时，f(x)的解析式，判断C；利用函数的周期性结合指数不等式解法，可判断D.【详解】对于选项，由函数为偶函数得函数的对称轴为，故得，又，所以，从而得，所以函数是周期为4的周期函数，故选项正确；对于选项，又是奇函数,当，时，，故得，解得，所以当，时，，所以（1），故选项正确；对于选项，当，时，，所以，故选项不正确；对于选项，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期，上解的情况即可．当，时，由，解得，故得；当，时，根据A的分析知： ，故，所以，解得，故得，综上可得不等式在一个周期，上的解集为，所以不等式在定义域上的解集为，故选项正确．综上正确，故选：．12．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是（       ）A．直线直线B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是【答案】BCD【分析】对于：只需证明平面即可得到直线与直线不垂直；对于B：取，的中点，，根据题意得出平面截正方体所得的截面为，从而只需求三角形的周长即可；对于C：过构造平面与平行，过作，即为到直线的距离的最小值；对于D：构造两次线面垂直，得到点的轨迹为，由此能求出与平面成角正切的取值范围.【详解】对于：，，，，平面，平面，假设，又因为，，，平面，所以平面，此与平面矛盾，所以直线与直线不垂直，故选项错误；对于B：如图，取，的中点，，连接，，，．因为≌，所以，因为，所以，所以因为在正方体中，，所以 因为，所以三垂线定理得，，，所以平面，所以截正方体所得的截面为，故周长为，故B正确；对于C：如图取则平面与平行，过作，因为面，面，所以，又因为，所以面，所以即为到直线的距离的最小值，，故正确；对于D ：如图，取的中点，由证明选项B可知，面，又面，面，所以，，又因为在正方体中，分别为棱的中点，所以，，所以，，又因为，所以平面，故点轨迹为．在正方形中，当与重合时，最大；当时，最小．所以，因为平面，所以为与平面所成的角，，则与平面成角正切的取值范围是，故D正确．故选：BCD．三、填空题13．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，2)( >0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为________.【答案】300【分析】由已知求出，进一步求出的值，则答案可求．【详解】，，，此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，故答案为;30014．在中，，，为的三等分点，则______ .【答案】【详解】试题分析：即,如图建立平面直角坐标系，为边的三等分点，【解析】向量的数量积15．函数的值域是________.【答案】【分析】由题知函数为偶函数，且当时，函数为周期函数，最小正周期为，进而将问题转化为求时函数的值域，再结合二倍角公式和二次函数性质求解即可.【详解】解：因为，所以函数为偶函数，所以当时，，，所以当时，为周期函数，周期为，所以当时，，因为，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以当时，，所以根据偶函数性质，函数的值域为.故答案为：四、双空题16．《张丘建算经》记载“今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”，其所描述的就是中学等差数列求和的相关知识.现如今已知某化工厂污染物排放量随产量增加而同数递增，为保护环境，该厂决定斥资修复被污染的水土，经相关机构测算，修复被污染水土的单位费用随排放量的增加而成倍递增.设该厂第1年污染物排放量为1个单位，修复费用为每单位2万元，第2年该厂污染物排放量为2个单位，修复费用为每单位4万元，…不计科技提升带来的影响，以此类推，则4年后，该厂修复被污染水土的总费用为_______万元，n年后，该厂修复被污染水土的总费用为________万元.【答案】          【分析】根据题意，设该厂第年的排放量为个单位，修复费用为万元，第年时，该厂修复被污染水土的总费用为，则数列为等差数列，公差为，首项为，数列为等比数列，公比为，首项为，，进而根据错位相减法求和即可.【详解】解：由题知，修复被污染水土的单位费用随排放量的增加而成倍递增，故设该厂第年的排放量为个单位，则数列为等差数列，公差为，首项为，设该厂第年的修复费用为万元，则数列为等比数列，公比为，首项为，所以.设第年时，该厂修复被污染水土的总费用为，则，所以4年后，该厂修复被污染水土的总费用为万元，n年后，该厂修复被污染水土的总费用为的前项和，令为，则；，所以，所以.故答案为：；.五、解答题17．Sn为数列{an}的前n项和.已知(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求出首项，再得到和， 两式相减可证明数列{an}为等差数列，继而求得答案；（2）求出bn=的表达式，利用裂项相消法求得答案.【详解】(1)由 ，得：，当时， ，当时，，和相减，得：，即，因为，故，所以，故数列{an}为等差数列，故,即 ；(2)由（1）可知，故数列{bn}的前n项和为： .18．在中，角的对边分别为，已知acos－bsinA=0.(1)求角B；(2)设为边上一点，且，若AB=2，BC=1，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化为角可得，再利用倍角公式可求得答案；（2）利用余弦定理求得边b，继而求得的值，求出的长，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】(1)由acos－bsinA=0.可得： ,即，而 ，故，,故 ，所以 ；(2)由（1）可得 ,所以 ，因为，故 ，而 ,故 .19．为发展业务，某调研组准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个城市，对其使用，两个公司开发的扫码支付软件的情况进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.（1）求的值；（2）若一次抽取4个城市，①假设抽取的小城市的个数为，求的分布列和期望；②假设抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.【答案】（1）；（2）①分布列见解析，期望为；②.【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式列方程，由此求得.（2）①利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.②利用古典概型的概率计算出所求的概率.【详解】（1）共个城市，抽取2个城市的方法种数是，其中全是小城市的情况种数为，故全是小城市的概率是，即，得.（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2，3，4.；；；；.故的分布列为01234 .②若4个城市全是超大城市，共有种情况；若4个城市全是小城市，共有种情况，故全为超大城市的概率为.20．在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形为等腰梯形，，，是的中点，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，连接，进而证明为的中点，再结合中位线定理和线面平行判定定理证明即可；（2）由平面平面得平面，进而取中点，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】(1)证明：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，，，所以，因为四边形与四边形都是菱形，且为的中点，所以为的中点，，因为平面，平面，所以平面.(2)解：因为，为中点，所以；因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，取中点，因为是等腰梯形，所以，所以，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，所以，设平面的一个法向量为则，即，所以，所以，所以二面角的余弦值为.21．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.(1)求双曲线的方程；(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案；（2）由题设直线的方程为，，，，进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公式，面积公式得，再还原求解即可得答案.【详解】(1)解：因为双曲线的一条渐近线方程是，所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为，所以，所以双曲线的方程为(2)解：由题知双曲线的右焦点为，故设直线的方程为， 则联立方程得，设，，所以，因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且，所以，解得：且因为直线与轴交于点，所以，因为，所以所以，点到直线的方程为距离为，所以面积为，令，则，所以，因为在是单调递减函数，所以，所以.所以面积的取值范围为22．函数 .(1)若a＝1，求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若 恒成立，求a的值；(3)若 有两个不相等的实数解 ，证明【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数的导数，进而求得切线斜率，求得答案;（2）由可知，要使 恒成立，需使得需使得 为函数的最小值点，由此求得答案.（3）由题意可得，变形为，从而将证明的问题变为证明的问题，采用换元法，构造函数，判断函数的单调性，进而证明结论.【详解】(1)a＝1时，,所以，故y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 ，即；(2)函数，则 ，要使 恒成立，需使得 为函数的最小值点，由 ，则，当 时，，函数 单调递减，当 时，，函数 单调递增，即 为函数的最小值点，即恒成立，故 ；(3)若f(x)＝2(a>0)有两个不相等的实数解 ， 则 ，两式相减得：，即 ，故要证 ，只需证：，即证： ，即证：，不妨设 ，令 ，则需证： ，设 ，则，设，则 时取等号，即单调递减，故，即是单调递减函数，故，即成立，故原不等式成立.【点睛】本题综合考查了导数的几何意义，和恒成立问题，以及用导数证明不等式的问题，综合性较强，要求对于导数的相关知识十分熟悉并能灵活应用，解答的关键在于对于要解答的函数式或不等式能进行恰当的变形，进而构造合适的函数，利用导数判断其单调性以及其它性质，从而解决问题.