课时质量评价8　函数的奇偶性与周期性-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(八)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．(多选题)已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．y＝f (|x|) B．y＝f (－x)

C．y＝xf (x) D．y＝f (x)＋x

BD　解析：由奇函数的定义f (－x)＝－f (x)验证．

对于选项A，f (|－x|)＝f (|x|)，为偶函数；

对于选项B，f (－(－x))＝f (x)＝－f (－x)，为奇函数；

对于选项C，－xf (－x)＝－x·[－f (x)]＝xf (x)，为偶函数；

对于选项D，f (－x)＋(－x)＝－[f (x)＋x]，为奇函数．故选BD．

2．(多选题)设函数f (x)＝x3－，则f (x)(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．在(0，＋∞)单调递增

D．在(－∞，0)单调递减

AC　解析：因为f (x)＝x3－，则f (－x)＝－x3＋＝－f (x)，即f (x)为奇函数．

根据幂函数的性质可知，y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增，故y1＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，所以函数f (x)＝x3－在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增．

3．已知函数f (x)＝x＋＋1，f (a)＝3，则f (－a)的值为(　　)

A．－3  B．－1   C．1  D．2

B　解析：由题意得f (a)＋f (－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2, 所以f (－a)＝2－f (a)＝2－3＝－1.故选B．

4．设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)＝则f (－7)＝(　　)

A．3  B．－3  C．2  D．－2

B　解析：因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，

且f (x)＝

所以f (－7)＝－f (7)＝－log2(7＋1)＝－3.

5．若定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足f (x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)

A．ex－e－x  B．(ex＋e－x)  C．(e－x－ex)  D．(ex－e－x)

D　解析：因为f (x)＋g(x)＝ex，

所以f (－x)＋g(－x)＝f (x)－g(x)＝e－x，

所以g(x)＝(ex－e－x)．

6．已知函数f (x)为奇函数，当x>0时，f (x)＝x2－x，则当x<0时，函数f (x)的最大值为________．

　解析：设x<0，则－x>0，所以f (－x)＝x2＋x.又函数f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝－x2－x＝－＋，所以当x<0时，函数f (x)的最大值为.

7．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝ln x，则f 的值为________．

ln 2　解析：由已知可得f ＝ln＝－2，所以f ＝f (－2)．又因为f (x)是偶函数，所以f ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2.

8．已知奇函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f (x)＝－x，则f (－16)＝________.

2　解析：根据题意，函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，则有f (x)＝f (6－x)．

又函数f (x)为奇函数，则f (－x)＝－f (x)，

所以f (x)＝－f (6－x)＝f (x－12)．

所以f (x)的最小正周期是12.

故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.

9．若函数f (x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________；函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．

2　　解析：由函数f (x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2.则函数f (x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝.易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.

10．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0,2]时，f (x)＝2x－x2.

(1)求证：f (x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f (x)的解析式．

(1)证明：因为f (x＋2)＝－f (x)，

所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．

所以f (x)是周期为4的周期函数．

(2)解：因为x∈[2,4]，所以－x∈[－4，－2]，

所以4－x∈[0,2]，

所以f (4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

因为f (4－x)＝f (－x)＝－f (x)，

所以－f (x)＝－x2＋6x－8，即f (x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．

B组　新高考培优练

11．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]

D　解析：f (x)的大致图象如图：

当x＞0时，不等式xf (x－1)≥0等价为f (x－1)≥0，

此时此时1≤x≤3，

当x≤0时，不等式xf (x－1)≥0等价为f (x－1)≤0，

即得－1≤x≤0，

综上，－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．

12．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)>0，f (x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f (2 023)＝________.

1　解析：因为f (x)>0，f (x＋2)＝，所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝＝＝f (x)，即函数f (x)的周期是4，

所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x)为偶函数，所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x＝－1时，f (－1＋2)＝，得f (1)＝. 由f (x)>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.

13．定义在实数集R上的函数f (x)满足f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)．现有以下三种叙述：

①8是函数f (x)的一个周期；

②f (x)的图象关于直线x＝2对称；

③f (x)是偶函数．

其中正确的序号是________．

①②③　解析：由f (x)＋f (x＋2)＝0，

得f (x＋2)＝－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，即4是f (x)的一个周期，8也是f (x)的一个周期，故①正确；由f (4－x)＝f (x)，得f (x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f (4－x)＝f (x)与f (x＋4)＝f (x)，得f (4－x)＝f (－x)，f (－x)＝f (x)，即函数f (x)为偶函数，故③正确．

14．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x＞0时，f (x)＞0，f (1)＝.

(1)求证：f (x)是R上的单调增函数；

(2)求f (x)在[－3,3]上的最大值．

解：(1)令x＝y＝0，得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)．所以f (0)＝0.

令y＝－x，得f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0.所以f (x)是奇函数．

任取x1＜x2，有f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f (x1－x2)＝－f (x2－x1)．

因为x2－x1＞0，所以f (x2－x1)＞0.所以f (x1)－f (x2)＜0，f (x1)＜f (x2)．

所以f (x)在R上为增函数．

(2)由(1)得f (x)在R上单调递增，所以函数f (x)的最大值为f (3)，且f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1＋1)＋f (1)＝3f (1)＝3×＝2.

15．设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)．当0≤x≤1时，f (x)＝x.

(1)求f (π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f (x)的图象与x轴所围成图形的面积．

解：(1)由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)，

所以f (x)是以4为周期的周期函数，

所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f (x)是奇函数且f (x＋2)＝－f (x)，

得f [(x－1)＋2]＝－f (x－1)＝f (－(x－1))，

即f (1＋x)＝f (1－x)．

故函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f (x)＝x，且f (x)的图象关于原点成中心对称，则f (x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，设f (x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4××2×1＝4.