课时质量评价28　平面向量的概念与线性运算-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(二十八)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A．a与λa的方向相反

B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|

D．|－λa|≥|λ|a

B　解析：当λ>0时，a与λa的方向相同；当λ<0时，a与λa的方向相反．A错误，B正确．|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定．C错误．|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．D错误．

2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　)

A．－＋ B．－－

C．－ D．＋

A　解析：因为D是△ABC的边AB的中点，

所以＝(＋)．

因为＝－，

所以＝(－－)＝－＋.

3．(2020·大同模拟)已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则(　　)

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段AB的反向延长线上

D．点P在射线AB上

D　解析：由＝＋，得－＝，所以＝·，所以点P在射线AB上．

4．(2020·青州模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)

A．1　　B．－　　C．　　D．－2

B　解析：由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.因为a，b不共线，所以整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又k<0，所以λ<0，所以λ＝－.

5．(2020·合肥模拟)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

D　解析：因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3××(＋)＝＋＋＋＋＋

＝＋＋＝＋＝.

6．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.

2　解析：因为||＝||＝|－|＝2，

所以△ABC是边长为2的正三角形，

所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，

所以|＋|＝2.

7．如图，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．

2∶1　解析：取AC的中点D，连接OD，如图．

则＋＝2，

所以＝－，

所以O是AC边上的中线BD的中点，

所以S△ABC＝2S△OAC，

所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.

8．给出下面四个结论：

①若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋；

②若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC；

③若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC；

④若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC．其中正确的结论有________(填序号)．

①④　解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，正确；

②三角形内，＝＋，但AC≠AB＋BC，错误；

③，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，错误；

④，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，正确．

9．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.

(1)试用a，b表示，，；

(2)证明：B，E，F三点共线．

(1)解：在△ABC中，因为＝a，＝b，

所以＝－＝b－a，＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b，

＝＋＝－＋＝－a＋b.

(2)证明：因为＝－a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b＝.所以＝，与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．

B组　新高考培优练

10．(多选题)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值可能是(　　)

A．　　B．2　　C．　　D．3

BCD　解析：设＝m，则m>1.

因为＝λ＋μ，

所以m＝λ＋μ，

即＝＋.

又知A，B，D三点共线，

所以＋＝1，即λ＋μ＝m，

所以λ＋μ>1.

11．(多选题)(2020·山东四校联考)如图，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则(　　)

A．＝＋

B．＝－

C．＝＋

D．＝－

BD　解析：因为＝＋，＝，＝＋，＝，＝＋，

所以＝(＋)．

所以＝＋＝＋＋，

所以＝，

所以＝＋＋＋＝－.

12．如图，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D．若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

(－1,0)　解析：由点D是圆O外的一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋＝＋λ＝λ＋(1－λ).

因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)．

所以＝－－(λ>1，μ>1)．

因为＝m＋n，

所以m＝－，n＝－，

所以m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．

13．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．

解：设＝a，＝b，

由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，

＝－＝nb－ma，

＝－＝a＋b.

由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，

使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，

从而消去λ得＋＝3.

14．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量＝(1－cos α)＋sin α(α是锐角)总成立，求α.

解：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得＝λ，

所以－＝λ(－)，

即＝(1－λ)＋λ，

所以所以sin α＝cos α.

因为α是锐角，所以α＝45°.