课时质量评价45　圆的方程-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(四十五)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．(2020·北京高三月考)已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

A　解析：圆心在y＝x上，设圆心为(a，a)，因为圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，所以圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，

即＝，解得a＝1，所以圆心坐标为(1,1)，半径为＝，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

2．(2020·云南师大附中高三月考)已知直线Ax＋By＋C＝0与圆C1：x2＋y2＋4x＝0相交于A1，B1两点，且△A1B1C1为直角三角形，则A1，B1中点M的轨迹方程为(　　)

A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x＋1)2＋y2＝1

D．(x＋2)2＋y2＝2

D　解析：因为△A1B1C1为直角三角形，且A1C1＝B1C1，所以A1B1＝2，MC1＝，所以M的轨迹是以C1为圆心，半径为的圆．故选D.

3．已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋y2－6x－16＝0

B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0

C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0

D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0

C　解析：因为线段AB的中点坐标为(2,4)，直线AB的斜率为＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－4＝－(x－2)，即y＝6－x.与直线l的方程联立，得圆心坐标为(3,3)．又圆的半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0.

4．(2020·衡水中学高三月考)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是(　　)

A．y2－4x＋4y＋8＝0

B．y2＋2x－2y＋2＝0

C．y2＋4x－4y＋8＝0

D．y2－2x－y＋1＝0

C　解析：圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为.因为圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，所以圆心和(0,0)的中点为，

所以满足直线方程y＝x－1，解得a＝2.

过点C(－2,2)的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为(x，y)，

所以＝|x|，解得y2＋4x－4y＋8＝0，

所以圆心P的轨迹方程是y2＋4x－4y＋8＝0.故选C.

5．(2020·邯郸模拟)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)

A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1

D．(x－2)2＋(y－2)2＝1

B　解析：在圆C2上任取一点(x，y)，则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上，所以有(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.

6．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是________．

　解析：若方程＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.

7．(2020·南宁高三一模)已知圆C经过A(5,1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________．

(x－2)2＋y2＝10　解析：由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线的方程为y＝2x－4.令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径为＝，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

8．(2020·上海高三一模)在直角坐标系中，已知A(1，0)，B(4,0)．若直线x＋my－1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是______________．

(－∞，－]∪[，＋∞)　解析：设点P的坐标为(x，y)．因为|PA|＝2|PB|，所以＝2，

化简得(x－5)2＋y2＝4，则动点P的轨迹是以(5,0)为圆心，半径为2的圆．

由题意可知，直线x＋my－1＝0与圆(x－5)2＋y2＝4有公共点，

则≤2，解得m≤－或m≥.

因此，实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心C的轨迹方程；

(2)若点C到直线y＝x的距离为，求圆C的方程．

解：(1)设C(x，y)，圆C的半径为r.

由题意得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，

从而y2＋2＝x2＋3，

故C的轨迹方程为y2－x2＝1.

(2)设C(x0，y0)，由已知得＝.

又点C在双曲线y2－x2＝1上，

从而得

解得或

此时，圆C的半径r＝，

故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.

B组　新高考培优练

10．(多选题)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，则圆Ω的方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝9

B．(x－1)2＋(y－2)2＝10

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25

D．(x－4)2＋(y－1)2＝16

AC　解析：因为圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，所以圆心在直线y＝2上．

设圆心坐标为(a,2)，

由题意得＝，

解得a＝0或a＝－4.

当a＝0时，圆心坐标为(0,2)，半径为3；

当a＝－4时，圆心坐标为(－4,2)，半径为5.

所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.

11．(多选题)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值可以为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

ABC　解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径r＝1.

设P(a，b)在圆C上，则＝(a＋m，b)，＝(a－m，b)．

若∠APB＝90°，则⊥，∴·＝(a＋m)(a－m)＋b2＝0.

∴m2＝a2＋b2＝|OP|2.∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|＋r＝5＋1＝6，最小值为5－1＝4.∴m的取值范围是[4,6].

12．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．

74　解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.因为x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，所以(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，所以dmax＝74.

13．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为__________．

(x＋1)2＋(y－)2＝1　解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)．

又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)．

由题意得与的夹角为120°，得cos 120°＝＝－，解得a＝.

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

14．已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则的最大值为________，|3x＋4y－28|的最小值为________．

11　5　解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而表示圆上的点到坐标原点的距离，所以()max＝＋6＝11.由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋4)2＝36，可设其圆上点的坐标为(θ为参数)，所以|3x＋4y－28|＝|18cos θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|，所以当sin(θ＋φ)＝1时，|3x＋4y－28|min＝5.

15．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.

因此直线l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，

所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

16．(2020·潍坊高三月考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝5，直线l：mx－y＋1＋2m＝0，m∈R.

(1)证明：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.

(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．

(3)是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

(1)证明：(方法一)圆C：(x＋2)2＋y2＝5的圆心为C(－2，0)，半径为，所以圆心C到直线l：mx－y＋1＋2m＝0的距离为＝<.

所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点．

(方法二)直线l：mx－y＋1＋2m＝0的方程可化为m(x＋2)＋(1－y)＝0，所以直线l过定点(－2，1)．因为(－2＋2)2＋12＝1<5，所以点(－2,1)是圆C内一点，故直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解：设中点为M(x，y)．

因为直线l：mx－y＋1＋2m＝0恒过定点(－2,1)，

所以当直线l的斜率存在时，kAB＝.

又kMC＝，kAB·kMC＝－1，

所以·＝－1，

化简得(x＋2)2＋＝(x≠－2).

当直线l的斜率不存在时，中点M(－2，0)也满足上述方程．

所以M的轨迹方程是(x＋2)2＋＝，它是一个以为圆心，以为半径的圆．

(3)解：假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为.由于圆心C(－2，0)，半径为，则圆心C(－2，0)到直线l的距离为＝<.

化简得m2>4，解得m>2或m<－2，即m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．