课时质量评价56　分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(五十六)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243  B．252  C．261  D．279

B　解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．

2．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为(　　)

A．7  B．9  C．12  D．16

C　解析：得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种选法；第二步，确定b有4种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)不同的圆．

3．(2020·石景山区高三一模)将4位志愿者分配到“糖酒会”的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有(　　)

A．72种  B．36种  C．64种  D．81种

B　解析：因为将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，

所以先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，

再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有CA＝36(种)分配方案．

4．(2020·昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数为(　　)

A．30  B．40  C．60  D．90

B　解析：根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，有C＝20(种)选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，所以A，B，C相互调整座位有2种情况．故不同的调整方案有20×2＝40(种)．故选B．

5．用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　)

A．120  B．72  C．60  D．48

B　解析：由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在2,4,6中任选一个数，有C种选择，其他数位任意排列．由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为CA＝3×24＝72.故选B．

6．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有(　　)

A．20种  B．24种  C．32种  D．48种

C　解析：若角排在一或五的位置，有 2AA＝24(种)；若角排在二或四的位置，有2AA＝8(种)．

根据分类加法计数原理可得，共有24＋8＝32(种)排法．故选C．

7．(2020·珠海市高三三模)甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有(　　)

A．210种  B．252种  C．343种  D．336种

D　解析：分两种情况讨论：

①每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为A＝210；

②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其他楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为CA＝126.

由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法有210＋126＝336(种)．故选D．

8．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)

20　解析：由题意知，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有1名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成4份，共有C＝20(种)不同的选法．

9．(2020·哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共________种．

36　解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有A种方法，然后插入1名男演员，有A种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A种方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的出场顺序共有A·A·A＝36(种)．

10．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．

(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？

(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？

解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20(种)不同的放入方式．

(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120(种)放入方式．

B组　新高考培优练

11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元、1个8元、1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(　　)

A．18种  B．24种  C．36种  D．48种

C　解析：若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6(种)．根据分类加法计数原理可得，共有36种情况．故选C．

12．某小学6名教职工的私家车中有3辆为黑色、2辆为白色、1辆为红色，学校刚好备有6个并排的停车位，上班期间这6辆私家车每天都停在这6个车位上，则红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数为(B)

A．144  B．288  C．432  D．720

13．(多选题)(2020·南京师大附中期中)有四名男生、三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有(　　)

A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法

B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法

C．如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法

D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法

CD　解析：A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有AA＝576(种)不同的排法，A选项错误；

B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有AA＝6×120＝720(种)不同的排法，B选项错误；

C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有AA＝12×120＝1 440(种)不同的排法，C选项正确；

D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有AA＝24×60＝1 440(种)不同的排法，D选项正确．故选CD．

14．(多选题)(2020·赣榆区期中)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则(　　)

A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有CC种

B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有(CC＋CC)种

C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(CC＋CC)种

D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C－C)种

ACD　解析：由题意知，抽出的3件产品恰好有一件不合格品，

则包括1件不合格品和2件合格品，

共有CC种结果，所以选项A正确，B不正确；

根据题意，“至少有1件不合格品”可分为“有1件不合格品”与“有2件不合格品”两种情况，

“有1件不合格品”的抽取方法有CC种，

“有2件不合格品”的抽取方法有CC种，

则共有(CC＋CC)种不同的抽取方法，选项C正确；

“至少有1件不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，

“3件都是合格品”的抽取方法有C种，

所以抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C－C)种，选项D正确．故选ACD．

15．(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)

A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C．甲、乙不相邻的排法种数为72

D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

ABCD　解析：对于选项A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A＝24(种)，故A正确；

对于选项B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有AA＋A＝42(种)，故B正确；

对于选项C，甲、乙不相邻的排法种数为AA＝72，故C正确；

对于选项D，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)，故D正确．故选ABCD．

16．(2020·上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．

10　解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.

17．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．

(1)若恰在第5次测试才找到第1件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？

解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法；再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A种测试方法；再排余下4件的测试位置，有A种测试方法．所以共有A·A·A＝103 680(种)不同的测试方法．

(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C·C·A＝576(种)不同的测试方法．