苏教版 (2019)必修第一册第5章函数概念与性质5.4 函数的奇偶性课文内容课件ppt

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1 | 函数奇偶性的概念
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们称函数f(x)具有奇偶性.
如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象关于③　原点    对称,反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数,那么这个函数的图象关于④    y轴    对称,反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
2 | 奇函数、偶函数的图象特征
1.奇函数的图象一定过原点. (    ✕　)2.偶函数的图象不一定与y轴相交. (　√　)3.所有函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.(    ✕　)提示:所有定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.4.有且仅有一个函数既是奇函数又是偶函数. (    ✕　)提示:既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为f(x)=0,但是定义域可以有无数个, 如[-1,1],[-2,2]等.5.若f(x)的定义域为R且满足f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. (    ✕　)提示:如图, f(x)的定义域为R,其中f(-1)=f(1)=0,满足题意,但是f(x)不是偶函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
6.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. (    ✕　)提示:例如函数f(x)=x2-2x,x∈R,其定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.7.函数f(x)=x2+|x|的图象关于原点对称. (    ✕　)
1 | 如何判断函数的奇偶性
1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法:
2.奇、偶函数运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
注意:上述表格中不考虑f(x)=±g(x)=0的情况;在f(g(x))中,需x∈G,g(x)∈F.
分段函数奇偶性的判断判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是先在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,并进行双向验证.若函数在x=0处有定义,则还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时必须判定每一段上都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象,结合对称性判断.
判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)= ;(2)f(x)=(x-1) ;(3)f(x)=
思路点拨先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.
解析    (1)由得-2≤x≤2,且x≠0,∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.易得x+3>0,∴f(x)= = ,又f(-x)= =- =-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由1-x2>0,得-10,x-1<0,∴f(x)=(x-1) =(x-1) =- .∵对于定义域中的任意一个x,f(-x)=- =- =f(x),∴f(x)是偶函数.
(3)易知函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).综上,函数f(x)为偶函数.
2 | 函数奇偶性的应用
由函数的奇偶性求参数的值1.(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性概念的正用和逆用.(2)利用常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)具有奇偶性的条件可求得参数.2.常见策略:(1)若定义域含有参数,则利用奇函数和偶函数的定义域关于原点对称,即区间的左端点值与右端点值的和为0求参数.(2)一般化策略:利用f(-x)与f(x)的关系列关系式确定参数的值.
(3)特殊化策略:根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程(组)求参数,不过这种方法求出的参数值要代入解析式检验,看是否满足
条件,不满足的要舍去.
根据函数的奇偶性求函数值利用函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数不具有奇偶性,一般先利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.利用奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)求哪个区间上的解析式,x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间上的解析式代入求解.(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为　1    ;(2)若f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值为　6    ;(3)如果f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时, f(x)=x(1+ ),那么当x∈(-∞,0)时,f(x)=　x(1- )　  .
思路点拨(1)思路一:利用函数f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x)求出m的值;思路二:由偶函数的图象关于原点对称求出m的值;(2)构造函数g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数,再结合f(-2)=10依次求出g(-2),g(2),进而求出f(2)的值;(3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),结合f(-x)=-f(x)求出f(x)在(-∞,0)上的解析式.
解析    (1)解法一:∵f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(m-2)· (-x)2+(m-1)·(-x)+3=(m-2)x2+(m-1)x+3恒成立,∴(m-1)x=0恒成立,∴m-1=0,即m=1.解法二:若m=2,则f(x)=x+3,不是偶函数,舍去.若m≠2,则f(x)图象的对称轴为直线x=- .∵f(x)为偶函数,∴- =0,∴m=1.(2)设g(x)=x5+ax3+bx,则f(x)=g(x)+8.∴f(-2)=g(-2)+8=10,∴g(-2)=2.易知g(x)是奇函数,∴g(2)=-g(-2)=-2,∴f(2)=g(2)+8=-2+8=6.(3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),∴f(-x)=-x(1+ )=-x(1- ).∵f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x(1- ),x∈(-∞,0).
3 | 函数奇偶性与单调性的综合应用
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;(2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.3.在比较大小问题中,若两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即正负不统一,则先利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上, 再根据函数的单调性比较函数值的大小.4.解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f (x1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有(　B　)A.f(-n)思路点拨根据已知条件判断函数的单调性,再利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可.
解析    ∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,则f(x2)>f(x1);若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即若x2n>n-1≥0,∴f(n +1)已知函数f(x)= 是定义在(-2,2)上的奇函数.(1)确定f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在区间(-2,2)上是减函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
思路点拨(1)根据函数f(x)是奇函数,即-f(x)=f(-x)求出m的值,进而得到f(x)的解析式;(2)利用减函数的定义证明即可;(3)根据奇函数的性质将f(t-1)+f(t)<0转化为f(t-1)解析    (1)因为f(x)= ,所以f(-x)= .因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以-f(x)=f(-x),即- = ,解得m=0,所以f(x)= ,x∈(-2,2).(2)证明:设x1,x2为区间(-2,2)上的任意两个值,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)= - = = = .易得 -4<0, -4<0,x1x2+4>0,x2-x1<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

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