必修 第二册10.2 二倍角的三角函数第1课时学案

第1课时　二倍角的三角函数(1)

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

2．倍角公式的变换

(1)因式分解变换

cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos_α－sin_α)．

(2)配方变换

1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2．

(3)升幂缩角变换

1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α．

(4)降幂扩角变换

cos2α＝ (1＋cos2α)，sin2α＝ (1－cos2α)，sin αcos α＝sin 2α.

1．下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin 15°cos 15°      B．cos 215°－sin 215°

C．2sin 215°       D．sin 215°＋cos 215°

【解析】选B.2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；

cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－；

sin 215°＋cos 215°＝1.

2．计算1－2sin222.5°的结果为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.1－2sin222.5°＝cos45°＝.

3．sin 105°cos 105°的值为(　　)

A．　　　B．－　　　C．　　　D．－

【解析】选B.sin 105°cos 105°＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝

－sin 30°＝－.

4.的值是(　　)

A．　    B．－    C．    D．－

【解析】选A.原式＝＝＝＝.

5．求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B.

【证明】左边＝－

＝

＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2A sin 2B)＝

cos 2A cos 2B＝右边，所以等式成立．

一、单选题

1．设单位向量e＝，则cos 2α的值为(　　)

A．    B．－    C．－    D．

【解析】选A.由题设可得cos 2α＋＝1⇒cos 2α＝，则cos 2α＝2cos 2α－1＝.

2．已知sin 2θ＝－，则tan θ＋＝(　　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】选D.因为sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，

所以sin θcos θ＝－，所以tan θ＋＝＋＝

＝＝－.

3．若sin ＝，cos ＝－，则角α是(　　)

A．第一象限的角      B．第二象限的角

C．第三象限的角     D．第四象限的角

【解析】选C.因为sin α＝2sin cos ＝2××＜0，cos α＝cos 2－sin 2＝－＜0，所以α是第三象限的角．

4．化简－2＝(　　)

A．2sin 4　　    B．－2sin 4

C．2cos 4　　    D．－2cos 4

【解析】选A.原式＝－2＝2|cos 4|－2|sin 4＋cos 4|，

因为π<4<，所以cos 4<0，sin 4＋cos 4<0.

所以原式＝－2cos 4＋2(sin 4＋cos 4)＝2sin 4.

二、填空题

5．已知sin 2α＝，则cos 2＝________．

【解析】cos 2＝＝

＝＝.

答案：

6．已知tan α＝，则cos 2α＋sin 2α的结果为________．

【解析】因为tan α＝，所以＝，

即2sin α＝cos α，

所以sin 2α＋cos 2α＝cos 2α＋cos 2α＝1，

即cos 2α＝，所以cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋2sin α·cos α＝2cos 2α＝.

答案：

三、解答题

7．已知函数f(x)＝2sin x(cos x＋sin x)－1.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若f＝，求sin 的值．

【解析】(1)f(x)＝2sin x cos x＋2sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x

＝2sin ，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故单调递增区间为(k∈Z).

(2)由f＝得sin ＝，

则sin ＝sin

＝cos ＝1－2sin 2＝.

8．已知tan α＋＝，α∈，求cos 2α和sin 的值．

【解析】由tan α＋＝，得＋＝，

则＝，即sin 2α＝.

因为α∈，所以2α∈，

所以cos 2α＝－＝－，

sin＝sin 2α·cos ＋cos 2α·sin ＝×－×＝.

一、选择题

1．已知tan α＝2，则＝(　　)

A．      B．2

C．      D．±

【解析】选C.已知tan α＝2，

则＝＝＝＝.

2．已知sin ＝，则cos ＝(　　)

A．    B．    C．－    D．－

【解析】选D.由题意sin ＝

sin ＝－cos ＝，

即cos ＝－，

则cos ＝cos 2＝

2cos 2－1＝2×2－1＝－.

3．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)

A．　　　    B．

C．－　　　  D．－

【解析】选A.设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.因为sin θ＝，所以cos θ＝＝.

所以sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.

4．(多选)下列选项中，值为的是(　　)

A．cos 72°cos 36°      B．sinsin

C．＋     D．－cos215°

【解析】选AB.对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；

对于B，sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝，故B正确；

对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；

对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)

＝－cos30°＝－，故D错误．

二、填空题

5．已知tan α＝2，则cos ＝________．

【解析】因为tan α＝2，

所以cos ＝sin 2α＝＝＝.

答案：

6．若sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，则tan α＝________，

cos ＝________．

【解析】因为sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，

所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.

所以cos (2α＋)＝cos 2α－sin 2α

＝·－·

＝·－·

＝×－×＝.

答案：－2　

7．化简：＝________．

【解析】原式＝

＝

＝

＝－4.

答案：－4

8．已知sin ＝，则sin ＝________．

【解析】由题意知sin ＝cos ＝，

所以sin ＝－cos

＝－2cos2＋1＝

答案：

三、解答题

9．已知cos＝，≤α<，

求cos 的值．

【解析】因为≤α<，所以≤α＋<.

因为cos >0，所以<α＋<.

所以sin ＝－

＝－＝－.

所以cos2α＝sin

＝2sin cos

＝2××＝－，

sin 2α＝－cos

＝1－2cos2

＝1－2×＝.

所以cos＝cos 2α－sin 2α

＝×＝－.

10．已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α.

【解析】因为sin 2α＝－cos

＝－，

sin＝－sin

＝－cos

＝－cos ，

所以原式可化为1－2cos2

＝－cos，

解得cos ＝1或cos ＝－.

因为α∈，

所以α＋∈，

故α＋＝0或α＋＝，

即α＝－或α＝.