高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数第2课时学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数第2课时学案设计，共9页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)的值为( )
A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(4,3) C．－ eq \f(2,3) D．4
【解析】选B.因为f(tan x)＝ eq \f(2tan x,1－tan2x) ，所以f(2)＝ eq \f(2×2,1－22) ＝－ eq \f(4,3) .
2．cs eq \f(π,7) cs eq \f(3π,7) cs eq \f(5π,7) 的值为( )
A． eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,4) C． eq \f(1,8) D．－ eq \f(1,8)
【解析】选D.因为cs eq \f( 3π,7) ＝－cs eq \f(4π,7) ，cs eq \f(5π,7) ＝－cs eq \f(2π,7) ，
所以cs eq \f(π,7) cs eq \f(3π,7) cs eq \f(5π,7) ＝cs eq \f(π,7) cs eq \f(2π,7) cs eq \f(4π,7) ＝
eq \f(8sin \f(π,7) cs \f(π,7)cs \f(2π,7)cs \f(4π,7),8sin \f(π,7)) ＝ eq \f(4sin \f(2π,7)cs \f(2π,7)cs \f(4π,7),8sin \f(π,7))
＝ eq \f(2sin \f(4π,7)cs \f(4π,7),8sin \f(π,7)) ＝ eq \f(sin \f(8π,7),8sin \f(π,7)) ＝－ eq \f(1,8) .
3．已知角α＋ eq \f(π,4) 的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(\r(3),3))) ，则sin 2α等于( )
A．－ eq \f(1,3) B．－ eq \f(2,3) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
【解析】选A.由任意角三角函数定义可得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
则sin 2α＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))) ＝2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))) －1＝－ eq \f(1,3) .
4．在△ABC中，若a cs A＝b cs B，4cs2 eq \f(C,2) ＝1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】选B.根据正弦定理 eq \f(a,sinA) ＝ eq \f(b,sin B) ，
因为 a cs A＝b cs B，所以sin A cs A＝sin B cs B，
即sin 2A＝sin 2B.
因为2A，2B∈(0，2π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2) ，又4cs2 eq \f(C,2) ＝1，
所以2csC＝－1，所以cs C＝－ eq \f(1,2) ，即C＝ eq \f(2,3) π，
所以A＝B＝ eq \f(π,6) ，所以B选项正确．
5．若角α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) ， eq \r(2) sin β＝cs eq \f(α,2) －sin eq \f(α,2) ，sin α＝ eq \f(3,5) ，
则cs β＝( )
A． eq \f(2\r(5),5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(\r(15),5) D． eq \f(\r(2),2)
【解析】选A.由题意可得sin β＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2))) .
因为 eq \f(π,4) － eq \f(α,2) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) ，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) ，
所以 eq \f(π,4) － eq \f(α,2) ＝β，则2β＝ eq \f(π,2) －α，
所以cs 2β＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)) ＝sin α＝ eq \f(3,5) ，
又cs 2β＝2cs 2β－1＝ eq \f(3,5) ，解得cs 2β＝ eq \f(4,5) ，
又β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) ，所以cs β＝ eq \f(2\r(5),5) .
6．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin ，tan ，sec (正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cs ，ct ，csc (余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中sec θ＝ eq \f(1,cs θ) ，csc θ＝ eq \f(1,sin θ) .若α∈(0，π)，且 eq \f(3,csc α) ＋ eq \f(2,sec α) ＝2，则tan α＝( )
A． eq \f(5,13) B． eq \f(12,13) C．0 D．－ eq \f(12,5)
【解析】选D.因为3sin α＋2cs α＝2，
所以 eq \f(6sin \f(α,2)cs \f(α,2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2\f(α,2)－sin 2\f(α,2))),cs 2\f(α,2)＋sin 2\f(α,2)) ＝2，
所以 eq \f(6tan \f(α,2)＋2－2tan 2\f(α,2),tan 2\f(α,2)＋1) ＝2，
所以3tan eq \f(α,2) ＋1－tan 2 eq \f(α,2) ＝tan 2 eq \f(α,2) ＋1，
解得tan eq \f(α,2) ＝0或 eq \f(3,2) .又因为α∈(0，π)，
所以tan eq \f(α,2) >0，所以tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(3,2) ，
则tan α＝ eq \f(2tan \f(α,2),1－tan 2\f(α,2)) ＝－ eq \f(12,5) .
二、填空题
7．化简：(1) eq \f(1,tan θ＋1) ＋ eq \f(1,tan θ－1) ＝________．
(2) eq \r(1＋sin 20°) ＋ eq \r(1－sin 20°) ＝________．
【解析】(1)原式＝ eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,（tan θ＋1）（tan θ－1）) ＝ eq \f(2tan θ,tan2θ－1)
＝－ eq \f(2tanθ,1－tan2θ) ＝－tan2θ.
(2)原式＝ eq \r(sin210°＋cs210°＋2sin10°cs 10°) ＋
eq \r(sin210°＋cs210°－2sin10°cs 10°)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 10°＋cs 10°))\s\up12(2)) ＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 10°－cs 10°))\s\up12(2))
＝|sin 10°＋cs 10°|＋|sin 10°－cs 10°|
＝sin 10°＋cs 10°＋cs 10°－sin 10°＝2cs 10°.
答案：(1)－tan 2θ (2)2cs 10°
8．函数f(x)＝( eq \r(3) sin x＋cs x)( eq \r(3) cs x－sin x)的最小正周期为________，最大值为________．
【解析】由题意，得f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) ×2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ，故该函数的最小正周期为T＝ eq \f(2π,2) ＝π，最大值为2.
答案：π 2
9．函数y＝sin x cs x＋ eq \r(3) cs 2x－ eq \r(3) 的图象的一个对称中心为________．
【解析】y＝ eq \f(1,2) sin 2x＋ eq \f(\r(3),2) (1＋cs 2x)－ eq \r(3)
＝ eq \f(1,2) sin 2x＋ eq \f(\r(3),2) cs 2x－ eq \f(\r(3),2) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) － eq \f(\r(3),2) ，
令2x＋ eq \f(π,3) ＝kπ，x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,6) (k∈Z)，
当k＝1时，x＝ eq \f(π,3) ，对称中心是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，－\f(\r(3),2))) ；
当k＝2时，x＝ eq \f(5π,6) ，对称中心是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，－\f(\r(3),2))) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，－\f(\r(3),2))) (答案不唯一)
10．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) ＝ eq \f(3,5) ， eq \f(5π,4) ＜x＜ eq \f(7π,4) ，则sin 2x＝________， eq \f(sin 2x＋2sin 2x,1－tan x) ＝________．
【解析】 eq \f(sin 2x＋2sin 2x,1－tan x) ＝ eq \f(2sin x cs x＋2sin 2x,1－\f(sin x,cs x))
＝ eq \f(2sin x cs x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x＋sin x)),cs x－sin x) ＝ eq \f(sin 2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan x)),1－tan x)
＝sin 2x·tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) ，
因为 eq \f(5π,4) ＜x＜ eq \f(7π,4) ，所以 eq \f(3π,2) ＜x＋ eq \f(π,4) ＜2π，
又因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) ＝ eq \f(3,5) ，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) ＝－ eq \f(4,5) .
所以tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) ＝－ eq \f(4,3) .
所以cs x＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))－\f(π,4)))
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) cs eq \f(π,4) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(3,5) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))) × eq \f(\r(2),2) ＝－ eq \f(\r(2),10) .
sin x＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))－\f(π,4)))
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)) cs eq \f(π,4) －sin eq \f(π,4) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))) × eq \f(\r(2),2) － eq \f(\r(2),2) × eq \f(3,5) ＝－ eq \f(7\r(2),10) ，
可得sin 2x＝2sin x cs x＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),10))) ＝ eq \f(7,25) .
所以 eq \f(sin 2x＋2sin 2x,1－tan x) ＝ eq \f(7,25) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))) ＝－ eq \f(28,75) .
答案： eq \f(7,25) － eq \f(28,75)
三、解答题
11．证明： eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°（4cs212°－2）) ＝－4 eq \r(3) .
【证明】左边＝ eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°（2cs 212°－1）)
＝ eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)
＝ eq \f(2\r(3)sin （12°－60°）,sin 24°cs 24°) ＝ eq \f(－2\r(3) sin 48°,\f(1,2)sin 48°) ＝－4 eq \r(3) ＝右边，所以原等式成立．
12．已知函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＋sin2x－cs2x＋2 eq \r(3) ·sinx cs x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝ eq \f(1,7) ，2α是第一象限角，求sin 2α.
【解析】(1)f(x)＝ eq \f(1,2) cs 2x－ eq \f(\r(3),2) sin 2x－cs 2x＋ eq \r(3) sin 2x＝ eq \f(\r(3),2) sin 2x－ eq \f(1,2) cs 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) .
(2)f(α)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6))) ＝ eq \f(1,7) ，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)，
所以2kπ－ eq \f(π,6) ＜2α－ eq \f(π,6) ＜ eq \f(π,3) ＋2kπ，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6))) ＝ eq \f(4\r(3),7) ，
所以sin 2α＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6))) cs eq \f(π,6) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6))) sin eq \f(π,6)
＝ eq \f(1,7) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(4\r(3),7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(5\r(3),14) .
一、选择题
1．cs4 eq \f(α,2) －sin4 eq \f(α,2) 的化简结果为( )
A．cs eq \f(α,2) B．cs α
C．cs 2α D．cs 4α
【解析】选B.cs4 eq \f(α,2) －sin4 eq \f(α,2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))) ＝csα.
2．下列关于函数f(x)＝1－2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))) 的说法错误的是( )
A．最小正周期为π
B．最大值为1，最小值为－1
C．函数图象关于直线x＝0对称
D．函数图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0)) 对称
【解析】选C.函数f(x)＝1－2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))) ＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确．最大值为1，最小值为－1，B正确．
由2x＝kπ＋ eq \f(π,2) ⇒x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z，得函数图象关于直线x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z对称，C不正确．
由2x＝kπ⇒x＝ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，得函数图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0)) ，k∈Z对称，D正确．
3．(多选)若sin α>sin β>0，则下列不等式中不一定成立的是( )
A．sin 2α>sin 2β B．cs 2αcs 2β D．sin 2αsin β>0，
所以sin 2α>sin 2β>0，－2sin 2α eq \f(\r(3),2) ＝sin 2β，
当α＝ eq \f(π,2) ，β＝ eq \f(π,6) 时，sin α>sin β>0，sin 2α＝0< eq \f(\r(3),2) ＝sin 2β，
则AD可能成立，也可能不成立．
二、填空题
4．函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是________．
【解析】f(x)＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sinx
＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
答案：[－5，3]
5．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) －2 eq \r(2) ·sin2x的最小正周期是________．
【解析】f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) －2 eq \r(2) sin2x
＝ eq \f(\r(2),2) sin2x－ eq \f(\r(2),2) cs 2x－2 eq \r(2) × eq \f(1－cs 2x,2)
＝ eq \f(\r(2),2) sin 2x＋ eq \f(\r(2),2) cs 2x－ eq \r(2)
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) － eq \r(2) ，
故最小正周期为π.
答案：π
6．化简：( eq \f(1,tan \f(α,2)) －tan eq \f(α,2) )· eq \f(1－cs 2α,sin 2α) ＝________．
【解析】原式＝( eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2)) － eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)) )· eq \f(2sin2α,2sinαcs α)
＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)·cs \f(α,2)) · eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(2cs α,sin α) · eq \f(sin α,cs α) ＝2.
答案：2
7．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(1,2))) ，b＝( eq \r(3) sin x，cs 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.则f(x)的最小正周期为________，f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上的最大值和最小值分别是________和________．
【解析】f(x)＝a·b＝cs x· eq \r(3) sin x－ eq \f(1,2) cs 2x
＝ eq \f(\r(3),2) sin 2x－ eq \f(1,2) cs 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) .
最小正周期T＝ eq \f(2π,2) ＝π.
所以f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) 的最小正周期为π.
当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6))) ，
由正弦函数y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6))) 上的图像知，
f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) .
所以f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上的最大值和最小值分别为1，－ eq \f(1,2) .
答案：π 1 － eq \f(1,2)
三、解答题
8．已知向量p＝(cs α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cs α)，p∥q，且α∈(0，π).
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6))) －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))) .
【解析】(1)由p∥q，可得(cs α－5)cs α－(sin α－5)(－sin α)＝0，
整理得sin α＋cs α＝ eq \f(1,5) .
因为α∈(0，π)，所以α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，
所以sin α－cs α＝ eq \r(2－（sin α＋cs α）2) ＝ eq \f(7,5) ，
解得sin α＝ eq \f(4,5) ，cs α＝－ eq \f(3,5) ，
故tan α＝－ eq \f(4,3) ，所以tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) ＝ eq \f(24,7) .
(2)2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6))) －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
＝1－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))) －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
＝1－ eq \f(1,2) cs α＋ eq \f(\r(3),2) sin α－ eq \f(\r(3),2) sin α－ eq \f(1,2) cs α
＝1－cs α＝ eq \f(8,5) .
9．设函数f(x)＝2cs2ωx＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,6))) ＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 eq \f(π,6) .
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) 上的最小值为 eq \r(3) ，求a的值．
【解析】f(x)＝1＋cs 2ωx＋ eq \f(\r(3),2) sin 2ωx－
eq \f(1,2) cs 2ωx＋a＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6))) ＋a＋1.
(1)由2ωx＋ eq \f(π,6) ＝2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，
得ωx＝kπ＋ eq \f(π,6) (k∈Z).
又ω>0，所以当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝ eq \f(π,6ω) ＝ eq \f(π,6) ，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) ＋a＋1，由 eq \f(π,6) ≤x≤ eq \f(π,3) ，得 eq \f(π,3) ≤2x≤ eq \f(2,3) π， eq \f(π,2) ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(5π,6) ，
所以当2x＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(5π,6) ，即x＝ eq \f(π,3) 时，f(x)取得最小值为 eq \f(1,2) ＋a＋1.由 eq \f(1,2) ＋a＋1＝ eq \r(3) ，得a＝ eq \r(3) － eq \f(3,2) .