苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.3 几个三角恒等式导学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.3 几个三角恒等式导学案，共9页。
几个三角恒等式1．半角公式2．积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式cos αcos β＝ [cos (α＋β)＋cos (α－β)]；sin αsin β＝－ [cos (α＋β)－cos (α－β)]；sin αcos β＝ [sin (α＋β)＋sin (α－β)]；cos αsin β＝ [sin (α＋β)－sin (α－β)]．(2)和差化积公式sin x＋sin y＝2sincos；sin x－sin y＝2cossin；cos x＋cos y＝2coscos；cos x－cos y＝－2sinsin．1．cos 75°－cos 15°的值为(　　)A．    B．－    C．    D．－【解析】选D.原式＝－2sin 45°·sin 30°＝－.2．函数f(x)＝cos 2，x∈R，则f(x)(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解析】选D.原式＝＝(1－sin 2x)＝－sin 2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．3．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值为(　　)A．    B．－    C．－    D．【解析】选C.因为sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.4．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．【解析】因为y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＋＝sin ＋，所以函数的最小正周期T＝＝π.答案：π5．设α∈(π，2π)，则等于________．【解析】＝＝＝.因为α∈(π，2π)，所以∈，所以sin >0，故原式＝sin .答案：sin 6．求证：＝.【证明】原式可变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①，①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin2θcos 2θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos 4θ＝左边．所以①式成立，即原式得证．一、单选题1．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos ＝(　　)A．－    B．    C．－    D．【解析】选B.因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cos θ＝－，所以cos ＝＝＝.2．若sin 74°＝m，则cos 8°＝(　　)A．    B．±C．    D．±【解析】选C.因为sin 74°＝m＝cos 16°，所以cos 8°＝＝.二、填空题3．设α是第二象限角，且cos ＝－，则是第________象限角．【解析】2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，所以为第一、三象限角，又－＝－＝－＝cos，所以cos <0，即为第三象限角．答案：三4．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则sin αcos β＝________．【解析】sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)＝×＋×＝.答案：三、解答题5．已知函数f(x)＝cos －2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.【解析】(1)f(x)＝cos －2sin x cos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以T＝＝π.(2)令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)≥sin ＝－，得证．一、选择题1．设a＝(sin 56°－cos 56°)，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°，c＝，d＝(cos 80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为(　　)A．a>b>d>c　　　　 B．b>a>d>cC．d>a>b>c       D．c>a>d>b【解析】选B.a＝sin 56°cos 45°－cos 56°sin 45°＝sin (56°－45°)＝sin 11°＝cos 79°，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°＝sin 40°(－sin 38°)＋cos 40°cos 38°＝cos (40°＋38°)＝cos 78°，c＝＝cos 81°，d＝(cos 80°－2cos250°＋1)＝[cos80°－(2cos250°－1)]＝(cos80°＋cos 80°)＝cos 80°，所以b>a>d>c.2．若cos α＝－，α是第三象限角，则等于(　　)A．－    B．    C．2    D．－2【解析】选A.因为α是第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－.所以＝＝＝＝＝－.3．若x＋y＝1，则sin x＋sin y与1的大小关系是(　　)A．sin x＋sin y>1     B．sin x＋sin y＝1C．sin x＋sin y<1     D．不确定【解析】选C.因为sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin ·cos ，又0<<<，所以sin <sin .所以2sin <2sin ＝1.所以sin x＋sin y＝2sin ·cos <cos ≤1.所以sin x＋sin y<1.【加固训练】(多选题)若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ的可能取值有(　　)A．0　　　B．1　　　C．　　　D．－【解析】选ACD.由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cos θ＝－1或.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝时，有sin θ＝±.于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－.4．(多选)已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x＋1，则(　　)A．f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)B．f(x)的对称轴为x＝(k∈Z)C．f(x)的最小正周期为π，最大值为2D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1【解析】选BC. f(x)＝cos 2x＋1，故T＝＝π，f(x)max＝1＋1＝2.f(x)的对称轴为2x＝kπ(k∈Z)，x＝(k∈Z).【加固训练】已知函数f(x)＝， 则有(　　)A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)的图象关于点对称C．函数f(x)的最小正周期为D．函数f(x)在上单调递减【解析】选BD. 因为f(x)＝＝＝－tan x，所以f(x)图象不是轴对称图形，关于点对称，最小正周期为π ，在上单调递减．二、填空题5．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________．【解析】cos 22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，所以cos11°＝＝.sin 11°＝＝.答案：　6．设a＝sin 2°＋cos 2°，b＝1－2sin 213°，c＝，则a，b，c的大小关系是________. 【解析】a＝cos 60°sin 2°＋sin 60°cos 2°＝sin 62°，b＝1－2sin 213°＝cos 26°＝sin 64°，c＝＝sin 60°，又y＝sin x在上为增函数，所以c＜a＜b.答案：c＜a＜b7．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos ＝________．【解析】因为cos θ＝－，θ∈(π，2π)，所以θ为第三象限角，所以sin θ＝－＝－，所以∈，所以sin＋cos >0.再根据＝1＋sin θ＝可得sin ＋cos ＝.答案：8．函数y＝cos cos 的最大值是________，最小正周期是________．【解析】由题意知，y＝＝＝－cos 2x.因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝，最小正周期为＝π.答案：　π三、解答题9．在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos .【证明】由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即＝90°－，所以cos ＝sin .所以sin A＋sin B＋sin C＝2sin ·cos ＋sin (A＋B)＝2sin ·cos ＋2sin ·cos ＝2sin ＝2cos ·2cos ·cos ＝4cos cos cos ，所以原等式成立．10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．【解析】因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝.所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<，所以cos ＝＝＝.由0<α－β<π，cos (α－β)＝，得sin (α－β)＝＝.所以tan＝＝＝.