高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.1 余弦定理第2课时学案

第2课时　余弦定理(2)

一、单选题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2－c2)·tan C＝ab，则角C的值为(　　)

A．      B．

C．或    D．或

【解析】选C.在△ABC中，由已知等式整理得＝，即cos C＝.因为cos C≠0，所以sin C＝，因为C为△ABC内角，所以C＝或.

2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形    B．直角三角形

C．钝角三角形    D．不确定

【解析】选B.因为b cos C＋c cos B＝a sin A，所以由余弦定理得b·＋c·＝a sin A，整理，得a＝a sin A，所以sin A＝1.

又A∈(0，π)，所以A＝.

故△ABC为直角三角形．

3．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　)

A．能组成直角三角形    B．能组成锐角三角形

C．能组成钝角三角形    D．不能组成三角形

【解析】选B.因为三条线段的长为5，6，7，满足任意两边之和大于第三边，故能组成三角形，又因为三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝＝>0，所以最大角为锐角，所以能组成锐角三角形．

4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.设顶角为C，因为周长l＝5c，

所以a＝b＝2c，

由余弦定理得cos C＝＝＝.

5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状(　　)

A．是锐角三角形    B．是直角三角形

C．是钝角三角形    D．由增加的长度确定

【解析】选A.设原直角三角形三边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则c为最大边，设增加的长度为x，则新三角形的三边长分别为a＋x，b＋x，c＋x，且c＋x所对的角最大，而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0.由余弦定理知新三角形最大角的余弦值为>0，最大角为锐角，所以新三角形为锐角三角形．

二、填空题

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b＝a＋1＝c＋2，且cos C＝，则△ABC的周长为________；△ABC是______三角形．

【解析】由余弦定理得cos C＝＝

＝，

解得a＝4.所以b＝5，c＝3.所以△ABC的周长为12.因为b2＝a2＋c2，所以△ABC为直角三角形．

答案：12　直角

7．在△ABC中，若b＝2，c＝2，C＝π，则a＝______；△ABC的面积为______．

【解析】因为c2＝a2＋b2－2ab cos C，

所以(2)2＝a2＋22－2a×2×cos ，

所以a2＋2a－8＝0，即(a＋4)(a－2)＝0，

所以a＝2或a＝－4(舍去).

所以AB边上的高h＝b cos 60°＝2×＝1，

所以△ABC的面积为×2×1＝.

答案：2　

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bc cos A＋

ca cos B＋ab cos C，则△ABC是______三角形．

【解析】由c2＝bc cos A＋ca cos B＋ab cos C，得

c2＝＋＋，

化简得c2＝a2＋b2，

所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形．

答案：直角

三、解答题

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，且c＝2，sin C＝，求△ABC的面积．

【解析】因为在△ABC中，a cos A＝b cos B，

所以由余弦定理得a×＝b×，

整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，

即a＝b或C＝(舍去).

因为c＝2，sin C＝，a＝b，

所以cos C＝±，即±＝，

解得a＝b＝或a＝b＝.

当a＝b＝时，S△ABC＝ab sin C＝3；

当a＝b＝时，S△ABC＝ab sin C＝.

10．如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．

(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间；

(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值．

【解析】(1)如图所示，在C点处缉私艇赶上走私船，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，AB＝18，设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时，

则AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC；

即(21x)2＝182＋(15x)2－2×18×15x×cos 120°，

化简得4x2－5x－6＝0，

解得x＝2或x＝－(不合题意，舍去)；

所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时．

(2)在△ABC中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，

所以cos ∠BAC＝＝，

所以sin ∠BAC＝＝，

cos α＝cos (∠BAC＋60°)＝cos ∠BAC cos 60°－sin ∠BAC sin 60°＝×－×＝－，

所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值是－.

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝，若a－b＝c cos B－c cos A，且a≠b，则△ABC的面积为(　　)

A．2    B．    C．    D．

【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状，然后求其面积．

【解析】选B.因为a－b＝c cos B－c cos A，

所以a－b＝c·－c·，去分母得2a2b－2b2a＝a2b＋c2b－b3－(b2a＋c2a－a3)，

整理得ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2－c2)，

因为a≠b，所以ab＝a2＋ab＋b2－c2，即a2＋b2＝c2得△ABC为直角三角形，则S△ABC＝××＝.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，

所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，

所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，

所以A＝.

3．(多选)在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)

A．a∶b∶c＝4∶5∶7

B．△ABC是钝角三角形

C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍

D．角C是最大角

【解析】选CD.因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，

所以可设(其中x>0)，

解得：a＝4x，b＝5x，c＝6x，

所以a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A错误；

由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，所以D正确．

又cos C＝＝＝>0，所以C角为锐角，所以B错误；

由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，

又cos A＝＝＝，

所以cos 2A＝2cos2A－1＝，

所以cos2A＝cos C.由三角形中C角最大且C角为锐角可得2A∈(0，π)，C∈，

所以2A＝C，所以C正确．

二、填空题

4．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为______；cos B＝______．

【解析】由余弦定理的推论知cos B＝＝，所以·＝||·||·cos (π－B)＝7×5×＝－19.

答案：－19　

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为______．

【解析】在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.因为c＝a，所以2a2＝a2＋b2＋ab，所以a2－b2＝ab>0，所以a2>b2，又a，b均为正数，所以a>b.

答案：a>b

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2＝4c2，cos A＝－，则＝______．

【解析】由已知得a2－b2＝4c2，由余弦定理可得

－＝cos A＝，

所以＝－，

所以＝，所以＝×4＝6.

答案：6

7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．

【解析】由已知条件，得cos A＝

＝＝.

设AC边上的中线长为x，

由余弦定理，得x2＝＋AB2－2··AB cos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.

答案：7

三、解答题

8.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两城市相距20 km，C，D两城市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离．

【解析】在△ABC中，由题意得AB－AC＝1.5×8＝12 (km).

在△ACD中，由题意得AD－AC＝1.5×20＝30 (km).

设AC＝x km，AB＝(12＋x) km，

AD＝(30＋x) km.

在△ABC中，cos ∠ACB＝＝＝，

在△ACD中，cos ∠ACD＝＝＝.

因为B，C，D在一条直线上，

所以＝－，即＝，

解得x＝.所以AB＝ km，AD＝ km.

即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.

9．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：

①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3.

(1)请指出这三个条件，并说明理由；

(2)求△ABC的边c.

【解析】(1)△ABC同时满足①，③，④.

理由如下：若△ABC同时满足①，②.

因为cos B＝－<－，且B∈(0，π)，所以B>π.

所以A＋B>π，矛盾．所以△ABC只能同时满足③④.

所以a>b，所以A>B，故△ABC不满足②.

故△ABC满足①，③，④.

(2)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，

所以72＝32＋c2－2×3×c×.

解得c＝8，或c＝－5(舍).

所以边c为8.