高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理第2课时学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理第2课时学案及答案，共9页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选B.由题意有 eq \f(a,sin A) ＝b＝ eq \f(b,sin B) ，
则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．
2．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且BC边上的高为 eq \f(\r(3),6) a，则 eq \f(c,b) ＋ eq \f(b,c) 的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.三角形的面积：S＝ eq \f(1,2) · eq \f(\r(3),6) a2＝ eq \f(1,2) bc sin A，所以a2＝2 eq \r(3) bc sin A，
由余弦定理：cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
可得：b2＋c2＝a2＋2bc cs A＝2 eq \r(3) bc sin A＋2bc cs A，
所以 eq \f(c,b) ＋ eq \f(b,c) ＝ eq \f(b2＋c2,bc) ＝2 eq \r(3) sin A＋2cs A
＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))) ≤4，所以 eq \f(b,c) ＋ eq \f(c,b) 的最大值为4.
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足 eq \f(a,cs A) ＝ eq \f(b,cs B) ＝ eq \f(c,cs C) ，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，又 eq \f(a,cs A) ＝ eq \f(b,cs B) ＝ eq \f(c,cs C) ，得 eq \f(sin A,cs A) ＝ eq \f(sin B,cs B) ＝ eq \f(sin C,cs C) ，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
4．在△ABC中∠A＝ eq \f(π,4) ，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则a＝( )
A．2 B． eq \r(5) C． eq \r(6) D．3
【解析】选C.因为a2＋b2－c2＝ab，所以可得cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(ab,2ab) ＝ eq \f(1,2) .
因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,3) ，因为∠A＝ eq \f(π,4) ，c＝3，所以由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，可得： eq \f(a,\f(\r(2),2)) ＝ eq \f(3,\f(\r(3),2)) ，解得a＝ eq \r(6) .
5．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cs C＋c cs B＝2a cs A且△ABC的面积为 eq \f(a2＋b2－c2,4) ，则B＝( )
A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,3) C． eq \f(5π,12) D． eq \f(π,2)
【解析】选C.由正弦定理及b cs C＋c cs B＝2a cs A，
得sin B cs C＋sin C cs B＝2sin A cs A，
所以sin (B＋C)＝2sin A cs A，
又因为在△ABC中，sin (B＋C)＝sin A>0，
所以cs A＝ eq \f(1,2) ，又A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3) ，
又S△ABC＝ eq \f(a2＋b2－c2,4) ＝ eq \f(1,2) ab sin C，结合余弦定理cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 得 eq \f(2ab cs C,4) ＝ eq \f(1,2) ab sin C，所以tan C＝1.又C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,4) ，所以B＝π－ eq \f(π,3) － eq \f(π,4) ＝ eq \f(5π,12) .
6．在△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，A＝ eq \f(π,6) ，b＝1，S△ABC＝ eq \r(3) ，则 eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C) 的值等于( )
A． eq \f(2\r(39),3) B． eq \f(26,3) eq \r(3)
C． eq \f(8,3) eq \r(3) D．2 eq \r(37)
【解析】选D.因为S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A，
所以c＝ eq \f(2S,b sin A) ＝ eq \f(2\r(3),\f(1,2)) ＝4 eq \r(3) ，
所以a2＝b2＋c2－2bc cs A＝1＋48－2×1×4 eq \r(3) × eq \f(\r(3),2) ＝37，所以a＝ eq \r(37) ，
所以 eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(\r(37),\f(1,2)) ＝2 eq \r(37) .
二、填空题
7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．
【解析】因为3sin A＝5sin B，
由正弦定理可得3a＝5b，即a＝ eq \f(5,3) b；
因为b＋c＝2a，所以c＝ eq \f(7,3) b，
所以cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(\f(25,9)b2＋b2－\f(49,9)b2,2×\f(5,3)b2) ＝－ eq \f(1,2) ，
而C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(2π,3) .
答案： eq \f(2π,3)
8．探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离，在帐篷旁边选定100米长的基线AC，并测得∠C＝105°，∠B＝15°，则A，B两点间的距离为________．
【解析】由正弦定理得 eq \f(AB,sin 105°) ＝ eq \f(100,sin 15°) ，
所以AB＝ eq \f(100sin 105°,sin 15°) ＝ eq \f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(6)－\r(2),4)) ＝100(2＋ eq \r(3) ).
即A，B两点间的距离为100(2＋ eq \r(3) )米．
答案：100(2＋ eq \r(3) )米
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝______； eq \f(sin B,sin C) 的值为______．
【解析】由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cs 120°，
整理得：AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
所以由正弦定理可得 eq \f(sin B,sin C) ＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) .
答案：3 eq \f(3,5)
10．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD＝2 eq \r(7) ，则CD＝________；sin ∠ABD＝________．
【解析】如图所示，在等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD.
又BD＝2 eq \r(7) ，
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs ∠BCD，
即(2 eq \r(7) )2＝(2CD)2＋CD2－2·2CD·CD·cs 120°，
解得CD＝2(负值舍去)，所以AD＝6，
由 eq \f(AD,sin ∠ABD) ＝ eq \f(BD,sin A) 得 eq \f(6,sin ∠ABD) ＝ eq \f(2\r(7),sin 60°) ，
解得sin ∠ABD＝ eq \f(3\r(21),14) .
答案：2 eq \f(3\r(21),14)
三、解答题
11．在△ABC中，若sin A＝2sin B cs C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
【解析】方法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理
eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) 及sin2A＝sin2B＋sin 2C，
可得a2＝b2＋c2，
所以A是直角，B＋C＝90°，所以2sin B cs C
＝2sin B cs (90°－B)＝2sin 2B＝sin A＝1，
所以sin B＝ eq \f(\r(2),2) .因为0°